Table of Contents
Ở các chuyên đề trước, ta đã được học về phép dời hình và phép vị tự. Vậy có phép biến hình nào vừa là phép phép dời hình, vừa là phép vị tự hay không? Trong thực tế, ta đã gặp nhiều hình ảnh giống hệt nhau nhưng có các kích thước to nhỏ khác nhau. Các hình có tính chất như vậy được gọi là các hình đồng dạng. Vậy thế nào là hai hình đồng dạng với nhau? Để nắm rõ hơn một cách chính xác về khái niệm trên, bài viết dưới đây sẽ giới thiệu tới chúng ta một phép biến hình mới, đó là phép đồng dạng.
1. Phép đồng dạng là gì?
Định nghĩa phép đồng dạng: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0), nếu với 2 điểm A, B bất kỳ và ảnh A’, B’ tương ứng của chúng, khi đó ta luôn có A’B’ = kAB.
Nhận xét:
+ Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số
+ Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|.
+ Ta được một phép đồng dạng tỉ số pk nếu ta thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p.
2. Tính chất phép đồng dạng
Dưới đây là các tính chất của phép đồng dạng tỉ số k:
(1) Phép đồng dạng tỉ số k biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;
(2) Phép đồng dạng tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;
(3) Phép đồng dạng tỉ số k biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;
(4) Phép đồng dạng tỉ số k biến một đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR.
Chú ý:
+ Nếu một phép đồng dạng nào đó biến tam giác MNP thành tam giác M’N’P’ thì nó cũng sẽ biến trực tâm, trọng tâm, tâm của các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác MNP tương ứng thành trực tâm, trọng tâm, tâm của các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác M’N’P’.
+ Phép đồng dạng biến một đa giác n cạnh bất kỳ thành đa giác n cạnh, biến cạnh thành cạnh, biến đỉnh thành đỉnh.
3. Hai hình đồng dạng với nhau
Định nghĩa hai hình đồng dạng: Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng, cho điểm I và tam giác ABC. Khi đó, phép quay tâm I, góc 100o biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’. Do đó, phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ có được bằng cách thực hiện phép quay tâm I, góc 100o. Ta được, tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’.
4. Một số bài tập phép đồng dạng lớp 11
Bài 1. Em hãy hoàn thành các câu dưới đây bằng cách thêm từ hoặc cụm từ còn thiếu vào chỗ trống:
1) Phép đồng dạng tỉ số k biến 3 điểm thẳng hàng thành . . . và bảo toàn . . . giữa các điểm ấy;
2) Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số . . .;
3) Phép đồng dạng tỉ số . . . biến một đường tròn bán kính . . . thành đường tròn bán kính mR;
4) Phép . . . tỉ số n là phép đồng dạng tỉ số |n|.
ĐÁP ÁN
1) Phép đồng dạng tỉ số k biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;
2) Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1;
3) Phép đồng dạng tỉ số m biến một đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính mR;
4) Phép vị tự tỉ số n là phép đồng dạng tỉ số |n|.
Bài 2. Khi thực hiện liên tiếp 2 phép đồng dạng là: Phép đồng dạng tỉ số u và phép đồng dạng tỉ số v, ta thu được
- phép đồng dạng tỉ số
. - phép đồng dạng tỉ số u + v.
- phép đồng dạng tỉ số u.v.
- phép đồng dạng tỉ số u – v.
ĐÁP ÁN
Khi thực hiện liên tiếp 2 phép đồng dạng là: Phép đồng dạng tỉ số u và phép đồng dạng tỉ số v, ta thu được phép đồng dạng tỉ số u.v.
Suy ra, chọn đáp án C.
Bài 3. Cho hình thoi MNPQ có điểm O là giao điểm của MP và NQ. Em hãy xác định hình thoi M’N’P’Q’ là ảnh của hình thoi MNPQ qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện 2 phép biến hình lần lượt là phép tịnh tiến theo vectơ
ĐÁP ÁN
Đầu tiên, ta xác định ảnh của hình thoi MNPQ qua phép tịnh tiến theo vectơ
Sau đó, ta sử dụng phép quay tâm P’, góc -90o biến hình thoi M1N1P’Q1 thành hình thoi M’N’P’Q’.
Do đó, phép đồng dạng biến hình thoi MNPQ thành hình thoi M’N’P’Q’ có được bằng cách thực hiện 2 phép biến hình lần lượt là phép tịnh tiến theo vectơ
Bài 4. Cho tam giác đều MNP và tam giác đều M’N’P’ trong hình vẽ dưới đây. Chứng minh rằng: Tam giác đều MNP và tam giác đều M’N’P’ đồng dạng với nhau.
ĐÁP ÁN
Đầu tiên, ta sử dụng phép tịnh tiến theo vectơ
Sau đó, ta sử dụng phép quay tâm M’, góc (M’P1 ; M’P’) và sử dụng phép vị tự tâm M’ tỉ số
Do đó, tam giác đều M’N’P’ là ảnh của tam giác đều MNP qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện 3 phép biến hình lần lượt là phép tịnh tiến theo vectơ
Như vậy, tam giác đều MNP và tam giác đều M’N’P’ đồng dạng với nhau (đpcm).
Bài 5. Trên mặt phẳng Oxy, cho x – 2y + 1 = 0 là phương trình của đường thẳng t. Biết phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện 2 phép biến hình lần lượt là phép đối xứng tâm O và phép quay tâm O, góc 60o biến đường thẳng t thành đường thẳng t’. Hãy viết phương trình đường thẳng t’.
ĐÁP ÁN
Đầu tiên, ta sử dụng phép đối xứng tâm O biến đường thẳng t thành đường thẳng t1. Khi đó, vì O (0 ; 0) không nằm trên đường thẳng t: x – 2y + 1 = 0, nên ta được t1 // t.
Suy ra phương trình của đường thẳng t1 có dạng x – 2y + m = 0.
Lấy H (1 ; 1) thuộc t. Gọi H1 thuộc t1 là ảnh của H qua phép đối xứng tâm O.
Khi đó, O là trung điểm của HH1, nên H1 (– 1 ; – 1).
Vì H1 (– 1 ; – 1) thuộc t1: x – 2y + m = 0, suy ra m = – 1.
Vậy phương trình của đường thẳng t1 là: x – 2y – 1 = 0.
Tiếp đó, ta sử dụng phép quay tâm O, góc 60o biến đường thẳng t1 thành đường thẳng t’.
Lấy K (1 ; 0) và
Áp dụng: Trên mặt phẳng Oxy, cho
Khi đó, ảnh của 2 điểm K (1 ; 0) và
Do đó, phương trình của đường thẳng t’ là:
Như vậy, chúng ta đã được tìm hiểu về định nghĩa và tính chất của phép đồng dạng qua bài viết này, đồng thời biết vận dụng lý thuyết qua các bài tập về phép đồng dạng được tổng hợp ở trên. VOH Giáo Dục hy vọng qua bài này các bạn dễ dàng làm được các bài tập tương tự.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang