Cách tìm điểm uốn của đồ thị hàm số

Trong những kiến thức liên quan đến đồ thị hàm số, điểm uốn là một trong những dạng bài tập cơ bản nhất. Vậy điểm uốn là gì? Cách tìm như thế nào? VOH Giáo dục sẽ giải đáp những thắc mắc ấy qua bài viết sau đây. 

1. Điểm uốn của đồ thị hàm số là gì?

Điểm uốn của đồ thị là điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai bằng 0 và đổi dấu.

Điểm U(x₀;f(x₀)) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm x₀ sao cho trên một trong hai khoảng (a;x₀) và (x₀;b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị và trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.

Ví dụ xét hàm y = x⁴ + x +1

y′′ = 12x²;  y′′= 0 ⇔ x = 0 nhưng điểm (0;1) không phải là điểm uốn vì y′′ > 0, ∀x≠0

Định lý: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x0, f”(x0) = 0 và f”(x) đổi dấu khi x qua điểm x0 thì điểm U(x0;f(x0)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x).

2. Phương pháp tìm điểm uốn của đồ thị hàm số

Vấn đề 1: Tìm điểm uốn của đồ thị (C) của hàm số y =f(x).

• Bước 1: Tìm điểm uốn của đồ thị (C) của hàm số y = f(x).
• Bước 2: Tìm tập xác định.
• Bước 3: Tìm y′ và y”.
• Bước 4: Xét dấu y” và kết luận theo định lí trên.

Vấn đề 2: Chứng minh đồ thị có 3 điểm uốn thẳng hàng.

Tìm y” và chứng tỏ phương trình y”= 0 có 3 nghiệm (đơn) phân biệt.

Suy ra đồ thị có 3 điểm uốn A, B và C.

Chứng minh vecto AB và AC cùng phương, suy ra A, B, C thẳng hàng.

Chú ý nếu phương trình y” = 0 không xác định được nghiệm cụ thể thì ta chứng minh A, B, C thẳng hàng như sau:

Tọa độ A, B, C thỏa: y” = 0 và y = f(x).

Từ đó suy ra x, y thỏa phương trình y = ax + b.

Từ đó, A, B, C cùng thuộc đường thẳng có phương trình y = ax + b.

Vấn đề 3: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị có điểm uốn thỏa mãn điều kiện cho trước.

• Tìm y′, y”.
• Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số.
• Đặt điều kiện để điểm uốn thỏa mãn điều kiện cho trước, từ đó suy ra giá trị của tham số.

3. Bài toán áp dụng về điểm uốn

Ví dụ 1: Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số: y = x³ – 3x² + 3

Tập xác định:

D = R.

y′ = 3x² – 6x.

y” = 6x – 6.

y” = 0

⇔ x =1

⇒ y = 1.

Bảng xét dấu:

Vậy đồ thị có một điểm uốn là U(1;1).

Ví dụ 2: Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số: y = 3x⁵ – 5x⁴ + 3x + 1

Tập xác định: D = R.

y′ = 15x⁴ – 20x³ + 3.

y” = 60x³ – 60x²= 60x²(x–1).

y” = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 1 hoặc x = 1 ⇒ y = 2.

Bảng xét dấu

Vậy đồ thị có một điểm uốn là U(1;2).

Kiến thức về điểm uốn và cách tìm điểm uốn của đồ thị hàm số vô cùng quan trọng và cần thiết. Đây cũng thường là dạng bài tập chiếm số điểm khá cao trong các bài kiểm tra, bài thi môn Toán. Hy vọng bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích.

Chịu trách nhiệm nội dung: Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến - Tổ Toán