Đường trung tuyến là gì? Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông

Ở những bài học trước, chúng ta đã được học về đường trung tuyến và đường trung tuyến trong tam giác. Vậy đường trung tuyến trong tam giác vuông có gì khác? Hãy cùng tìm hiểu trong bài học hôm nay nhé.

1. Đường trung tuyến là gì? Đường trung tuyến của tam giác

Đầu tiên ta xét đến định nghĩa đường trung tuyến: Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.

Vậy đường trung tuyến trong tam giác là đường như thế nào? Xem ví dụ bên dưới đây để hiểu thêm về khái niệm đường trung tuyến trong tam giác.

Xét tam giác ABC như hình vẽ:

Với M là trung điểm của đoạn BC, N là trung điểm của đoạn AC, P là trung điểm của đoạn AB. Ta nói AM, BN, CP là ba đường trung tuyến của tam giác ABC.  

Định nghĩa đường trung tuyến trong tam giác: Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh tam giác và điểm đối diện của cạnh đó là một đường trung tuyến của tam giác.

Xem lại hình trên, ta được:

AM đi qua trung điểm M của cạnh BC và điểm A là điểm đối diện cạnh BC nên AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của tam giác ABC.

BN đi qua trung điểm N của cạnh AC và điểm B là điểm đối diện cạnh AC nên là đường trung tuyến ứng với cạnh AC của tam giác ABC.

CP đi qua trung điểm P của cạnh AB và điểm C là điểm đối diện cạnh AB nên CP là đường trung tuyến ứng với cạnh AB của tam giác ABC.

2. Tính chất, định lý và cách chứng minh đường trung tuyến trong tam giác vuông

Đường trung tuyến trong tam giác vuông vẫn giống như khái niệm đường trung tuyến trong tam giác. Tuy nhiên, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông có định lý sau:

Tính chất và định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền: Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

Ví dụ 1:

Ta có BD là đường trung tuyến đi qua trung điểm D của cạnh huyền AC và BD bằng một nửa AC. 

Ta có thể chứng minh định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông như sau:

Giả thiết: Tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm BC.

Kết luận: AM = BC/2 = BM = CM.

Chứng minh:

Từ M kẻ đoạn thẳng MD sao cho MD = MA.

Xét và , ta có:

(hai góc đối đỉnh)

(M là trung điểm BC)

(cách vẽ)

Suy ra

Suy ra (1) và

Suy ra (hai góc so le trong bằng nhau)

Suy ra (hai đường thẳng song song thì cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba)

Xét hai tam giác vuông  và , ta có:

chung

Suy ra (hai cạnh góc vuông)

Suy ra:

Lại có:

Suy ra: (điều phải chứng minh)

Vậy ta đã chứng minh xong định lý: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

Xem một số ví dụ sau để hiểu cách áp dụng định lý:

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có M là trung điểm BC. Chứng minh AM = MC.

Ta có: AM đi qua trung điểm M của cạnh AB nên AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC.

AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền. Vậy nên AM bằng một nửa AC, suy ra AM = MC (điều phải chứng minh).

Ví dụ 3: Cho tam giác DEF vuông tại D, có K là trung điểm EF. Chứng minh rằng: DKF là tam giác cân tại K.

Ta có: DK đi qua trung điểm K của cạnh EF nên DK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền EF của tam giác vuông DEF.

DK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền. Vậy nên DK bằng một nửa EF, suy ra DK = KF.

DK = KF nên tam giác DKF là tam giác cân tại K (điều phải chứng minh).

3. Bài tập về đường trung tuyến trong tam giác vuông lớp 7

Bài 1: Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Tại sao? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng

a. Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó

b. Trong tam giác, chỉ có duy nhất một đường trung tuyến

c. Trong tam giác, đường trung tuyến ứng với một cạnh là đường thẳng vuông góc với cạnh đó.

d. Trong tam giác vuông chỉ có hai đường trung tuyến.

e. Đường trung tuyến trong tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền.

f. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

Bài 2: Xem hình bên dưới và cho biết các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Tại sao? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng

a. Tam giác MNP là tam giác vuông tại M.

b. Tam giác NLP là tam giác vuông tại L.

c. O là trung điểm NP.

d. MO là đường trung tuyến của tam giác NLP.

e. LO là đường trung tuyến của tam giác MNP.

f. MO bằng một nửa NP.

g. LO bằng một nửa NP.

h. MO bằng LO.

Bài 3: Đường trung tuyến trong tam giác vuông là đường

A. đi qua trung điểm cạnh đối diện

B. vuông góc với cạnh đối diện

C. song song với cạnh đối diện

D. tất cả đều đúng

Bài 4: Trong tam giác có bao nhiêu đường trung tuyến

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài 5: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền:

A. bằng một phần ba cạnh huyền

B. bằng cạnh huyền

C. song song với cạnh huyền

D. bằng một phần hai cạnh huyền

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại B, có BD là đường trung tuyến của tam giác như hình vẽ. Tính độ dài đoạn thẳng BD (cm).

Vậy là chúng ta đã hiểu được thế nào là đường trung tuyến trong tam giác vuông. Hy vọng kiến thức trong bài học này sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong các bài học tiếp theo.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang