Table of Contents
Bài học hôm nay chúng ta tìm hiểu về một khái niệm mới trong Toán học đó là hình chiếu. Chắc hẳn các em sẽ đặt ra câu hỏi: Hình chiếu là gì? Làm thế nào để tìm hình chiếu của một điểm, một đoạn thẳng? Hình chiếu có những tính chất nào?... Để giải đáp các thắc mắc đó chúng ta cùng nhau theo dõi bài viết này nhé!
I. Khái niệm hình chiếu trong toán học
1. Hình chiếu của một điểm
Cho một điểm M nằm ngoài đường thẳng a và từ M kẻ đoạn thẳng MK vuông góc với đường thẳng a (K thuộc đường thẳng a). Khi đó:
+ Điểm K được gọi là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a. Ngoài ra, điểm K còn được gọi là chân đường vuông góc kẻ từ M đến đường thẳng a.
+ Đoạn thẳng MK được gọi là đoạn vuông góc hoặc đường vuông góc kẻ từ M đến đường thẳng a.
2. Hình chiếu của một đoạn thẳng
Trên đường thẳng a của hình 2.1 ta lấy điểm P bất kỳ khác điểm K. Khi đó:
+ Đoạn thẳng MP được gọi là đường xiên kẻ từ M đến đường thẳng a.
+ Đoạn thẳng KP được gọi là hình chiếu của MP trên đường thẳng a.
II. Cách xác định hình chiếu trong toán học
1. Xác định hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng
Để xác định hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng ta có hai trường hợp xảy ra:
+ Trường hợp 1: Điểm đó nằm trên đường thẳng. Khi đó hình chiếu của điểm đó trên đường thẳng là chính nó.
Ví dụ. Cho điểm M nằm trên đường thẳng xy, khi đó hình chiếu của điểm M trên đường thẳng xy cũng chính là điểm M.
+ Trường hợp 2: Điểm đó nằm ngoài đường thẳng. Ta kẻ đường vuông góc từ điểm đó đến đường thẳng. Giao điểm của đường thẳng vừa vẽ và đường thẳng ban đầu chính là hình chiếu cần tìm.
Ví dụ. Cho điểm E nằm ngoài đường thẳng u. Để tìm hình chiếu của E trên đường thẳng u ta làm như sau:
Từ điểm E ta kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng u. Gọi giao điểm của đường thẳng u và đường vuông góc vừa vẽ là G. Khi đó G chính là hình chiếu của điểm E trên đường thẳng u.
2. Xác định hình chiếu của một đoạn thẳng trên một đường thẳng
Để xác định hình chiếu của đoạn thẳng DF trên đường thẳng y ta làm như sau:
+ Từ D ta kẻ đoạn thẳng DK vuông góc với đường thẳng y (K thuộc đường thẳng y). Từ F ta kẻ đoạn thẳng FH vuông góc với đường thẳng y (H thuộc đường thẳng y). Khi đó hai điểm K và H lần lượt là hình chiếu của hai điểm D và F trên đường thẳng y.
+ Đoạn thẳng KH chính là hình chiếu của đoạn thẳng DF trên đường thẳng y.
3. Xác định hình chiếu của một đường xiên trên một đường thẳng
Cho một điểm R nằm ngoài đường thẳng m, kẻ đường xiên RH (H thuộc đường thẳng m). Để tìm hình chiếu của đường xiên RH trên đường thẳng m ta làm như sau:
+ Từ điểm R ta kẻ đoạn thẳng RN vuông góc với đường thẳng m (N thuộc đường thẳng m). Khi đó điểm N là hình chiếu của R trên đường thẳng m.
Còn điểm H thuộc đường thẳng m nên hình chiếu của H trên đường thẳng m cũng chính là điểm H.
+ Như vậy NH chính là hình chiếu của đường xiên RH trên đường thẳng m.
III. Các dạng bài tập liên quan đến hình chiếu của một điểm, một đoạn thẳng
1. Dạng 1: Xác định hình chiếu của một điểm, một đoạn thẳng trên một đường thẳng
*Phương pháp giải. Dựa vào cách xác định hình chiếu đã nêu ở mục II để tìm hình chiếu của điểm, đoạn thẳng, đường xiên trên một đường thẳng.
Bài tập. Quan sát hình dưới đây và trả lời câu hỏi:
a) O là hình chiếu của điểm nào trên đường thẳng u1?
b) Tìm hình chiếu của WZ, XY trên đường thẳng u1.
c) Tìm hình chiếu của WZ, XY trên đường thẳng u2.
ĐÁP ÁN
a) Ta có YO ⊥ u1 nên O là hình chiếu của Y trên u1.
ZO ⊥ u1 nên O là hình chiếu của Z trên u1.
b) Hình chiếu của WZ, XY trên đường thẳng u1 lần lượt là OW, OX.
c) Tìm hình chiếu của WZ, XY trên đường thẳng u2 lần lượt là OZ, OY.
2. Dạng 2: So sánh các đường xiên và hình chiếu của các đường xiên đó
*Phương pháp giải. Để so sánh các đường xiên và hình chiếu của chúng ta dựa vào mối liên hệ sau:
Trong các đường xiên cùng kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:
+ Đường xiên nào có hình chiếu của nó lớn hơn thì đường xiên đó lớn hơn.
+ Ngược lại, đường xiên nào lớn hơn thì đường xiên đó có hình chiếu của nó lớn hơn.
+ Các đường xiên nào bằng nhau thì hình chiếu của nó sẽ bằng nhau. Và ngược lại, các hình chiếu nào bằng nhau thì đường xiên của nó cũng bằng nhau.
Ví dụ. Từ một điểm B nằm ngoài đường thẳng v, lần lượt kẻ các đường xiên BD và BM sao cho BD > BM.
a) Xác định hình chiếu của hai đường xiên BD và BM trên đường thẳng v.
b) So sánh hai hình chiếu vừa vẽ.
Giải.
a) Từ điểm B ta kẻ đoạn thẳng BT vuông góc với đường thẳng v (điểm T thuộc đường thẳng v). Khi đó ta có TD, TM lần lượt là hình chiếu của hai đường xiên BD và BM trên đường thẳng v.
b) Ta có TD là hình chiếu của đường xiên BD trên đường thẳng v.
TM là hình chiếu của đường xiên BM trên đường thẳng v.
Mà BD > MB
Suy ra TD > TM.
Bài 1. Cho tam giác PQK vuông tại P. Vẽ PM vuông góc với QK (M thuộc QK). Hãy so sánh MQ và MK biết
ĐÁP ÁN
Ta có:
Mà
Nên
Tam giác QPK có
Nên PQ < PK (quan hệ góc cạnh đối diện trong tam giác)
Mà MQ là hình chiếu của PQ trên QK.
MK là hình chiếu của PK trên QK
Suy ra MQ < MK.
Bài 2. Cho tam giác HDE nhọn có
ĐÁP ÁN
Vẽ HK ⊥ DE.
Vì các góc D và E đều nhọn nên K nằm giữa D và E.
Tam giác HDE có
Trường hợp 1: N ≡ K
Ta có tam giác HDN vuông tại N nên HN < HD (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông)
Trường hợp 2: N nằm giữa K và D suy ra KN < KD
Vậy HN < HD ( quan hệ đường xiên và hình chiếu)
Trường hợp 3: N nằm giữa K và E suy ra KN < KE
Nên HN < HE (quan hệ đường xiên và hình chiếu)
Mà HE < HD (cmt)
Suy ra HN < HD.
Vậy qua 3 trường hợp trên ta rút ra được kết luận: với mọi điểm N nằm giữa D và E ta luôn có HN < HD.
Trên đây là toàn bộ lý thuyết và một số dạng bài tập phổ biến liên quan đến hình chiếu trong toán học. Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong quá trình học tập.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang