Table of Contents
Thế nào là tam giác vuông? Trong tam giác vuông có những vấn đề nào cần tìm hiểu? Bài viết này sẽ giúp các bạn giải quyết được các câu hỏi liên quan đến tam giác vuông. Cùng tìm hiểu nhé!
I. Tất tần tật về tam giác vuông
1. Tam giác vuông là gì?
Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông (90 độ).
Ví dụ: Tam giác MNP vuông tại M:
Cạnh PN đối diện với góc vuông gọi là cạnh huyền.
Hai cạnh MP và MN kề với góc vuông gọi là cạnh bên (hay còn gọi là cạnh góc vuông).
2. Định lý Pytago (Định lý tam giác vuông)
Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
Tam giác MNP vuông tại M
3. Đường trung tuyến trong tam giác vuông
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Tam giác MNP vuông tại M, có MD là đường trung tuyến của tam giác MNP
4. Đường cao tam giác vuông
Tam giác MNP vuông tại M có MH là đường cao, khi đó: MH . NP = MN . MP
5. Tính diện tích tam giác vuông
Trong tam giác vuông, nếu coi một cạnh góc vuông là đáy thì cạnh góc vuông còn lại là chiều cao. Diện tích tam giác bằng chiều dài đáy nhân với chiều cao tương ứng rồi chia 2.
Tam giác MNP vuông tại M có công thức tính diện tích tam giác vuông là:
6. Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông
• Tam giác có một góc vuông là tam giác vuông
• Tam giác có hai góc nhọn phụ nhau là tam giác vuông
• Tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia là tam giác vuông
• Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy là tam giác vuông
7. Tam giác vuông cân
Tam giác MNP vuông tại M, có MN = MP, suy ra tam giác MNP vuông cân tại M.
II. Các dạng bài tập cơ bản liên quan đến tam giác vuông
1. Dạng 1: Chứng minh một tam giác là tam giác vuông
Bài 1: Cho tam giác ADM có AD = 6cm; AM = 8cm; DM = 10cm. Chứng minh tam giác ADM vuông tại A.
ĐÁP ÁN
Xét tam giác ADM có:
Bài 2: Cho tam giác EDM cân tại E có đường trung tuyến EK. Chứng minh tam giác EDK vuông tại K.
ĐÁP ÁN
Vì tam giác EDM cân tại E nên ED = EM
Vì EK là đường trung tuyến của tam giác EDM nên KD = KM
Xét
ED = EM
EK là cạnh chung
DK = KM
mà
Tam giác EDK có
2. Dạng 2: Sử dụng tính chất các đường đặc biệt trong tam giác vuông
Bài 1: Cho tam giác MNE vuông tại M có đường trung tuyến MH. Biết
ĐÁP ÁN
Vì MH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền EN trong tam giác vuông EMN
nên
Xét tam giác MHN có HM = HN nên tam giác MHN cân tại H
Ta có: góc MHE là góc ngoài tại đỉnh H của tam giác MHN
Vậy
Bài 2: Cho hình vẽ:
a) Chứng minh tam giác DKN vuông tại K.
b) Biết
ĐÁP ÁN
a) Xét tam giác DMN có
Mà DE, MF cắt nhau tại G nên G là trực tâm của tam giác DMN.
Suy ra, tam giác DKN vuông tại K.
b) Xét tam giác FMN vuông tại F có:
hay
Xét tam giác MGE vuông tại E có:
Ta có:
Vậy
3. Dạng 3: Một số bài tập nâng cao liên quan đến tam giác vuông
Bài 1: Cho tam giác MNE vuông tại M, đường cao MK (K thuộc NE). Trên cạnh NE lấy điểm H sao cho NH = NM. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với NE cắt cạnh ME tại D.
a) Chứng minh rằng ND là tia phân giác góc MNH và DN là tia phân giác góc MDH.
b) Gọi G, F lần lượt là giao điểm của MK; MH với DN. Chứng minh tam giác MDG cân tại M và F là trung điểm của DG.
c) Chứng minh GH vuông góc với MN.
ĐÁP ÁN
a) Xét tam giác MND vuông tại M và tam giác HND vuông tại H có:
ND là cạnh chung
NM = NH (giả thiết)
Suy ra,
Suy ra, ND là tia phân giác góc MNH và DN là tia phân giác góc MDH.
b) Vì
mà
Tam giác MGD có
Vì
Xét
MD = HD ( chứng minh trên)
DF là cạnh chung
Suy ra,
Xét tam giác MGD cân tại M có MF là đường phân giác nên MF là đường trung tuyến.
Suy ra F là trung điểm của DG.
c) Vì
Xét
GF= FD ( chứng minh trên)
MF = FH
Suy ra,
Mà hai góc này ở vị trí so le trong
Suy ra, HG // MD
mà
Bài 2: Cho tam giác DEF vuông tại E, có ED = EF.
a) Tính số đo góc EDF
b) Biết ED = 4cm. Tính diện tích tam giác DEF.
ĐÁP ÁN
a) Xét tam giác DEF vuông tại E có ED = EF nên tam giác DEF vuông cân tại E.
Suy ra
Vì tam giác DEF vuông tại E nên
mà
b) Diện tích tam giác DEF là:
Trên đây là các dạng toán liên quan đến tam giác vuông. Để có thể giải quyết được các bài toán về tam giác vuông nói riêng và các bài tập hình học khác nói chung thì các bạn nhớ nắm vững lí thuyết, rèn luyện khả năng vẽ hình và làm thật nhiều bài tập để nâng cao thêm năng lực cho mình nhé. Chúc các bạn đạt được mục tiêu mà mình đặt ra nhé!
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang