Đường trung trực là một trong những kiến thức quan trọng được tìm hiểu trong chương trình hình học lớp 7. Trong bài viết này chúng ta cùng tìm hiểu thế nào là đường trung trực nhé.
A. Đường trung trực là gì?
1. Đường trung trực của đoạn thẳng
1.1. Định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng
Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
Ví dụ: d là đường trung trực của đoạn thẳng AB vì: M là trung điểm của AB và d vuông góc với AB tại M.
1.2. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
- Định lí 1 (định lí thuận): Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Cụ thể: Nếu điểm A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC thì AB = AC.
- Định lí 2 (định lí đảo): Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Cụ thể, Nếu AB = AC thì điểm A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Nhận xét:
Từ định lí thuận và định lí đảo, ta có: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Ví dụ: MA = MB; NA = NB thì MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
» Xem thêm: [CHUẨN NHẤT] Đường trung trực của đoạn thẳng là gì?
2. Đường trung trực của tam giác
- Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác đó.
Ví dụ: Trong hình trên, d là đường trung trực ứng với cạnh NP của tam giác MNP.
- Mỗi tam giác có ba đường trung trực.
Nhận xét: Trong tam giác bất kì, đường trung trực của một cạnh không nhất thiết đi qua đỉnh đối diện với cạnh ấy. Tuy nhiên, trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy luôn đi qua đỉnh đối diện với cạnh đó. Ta có tính chất: Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này.
- Tính chất ba đường trung trực của tam giác:
Định lí: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Ví dụ:
Trong hình trên, Tam giác ABC có: a là đường trung trực của MN; d là đường trung trực của NP; e là đường trung trực của MP. a, d, e cắt nhau tại O. Nên OM = ON = OP
Khi đó có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh M, N, P. Ta gọi đường tròn đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
B. Các dạng bài tập về đường trung trực thường gặp
1. Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng
*Phương pháp giải:
Để chứng minh d là đường trung trực của đoạn thẳng MN, ta chứng minh d chứa hai điểm cách đều M và N hoặc sử dụng định nghĩa đường trung trực.
Bài tập luyện tập
Bài 1: Cho hình vẽ, biết MD = ME;
ĐÁP ÁN
Xét tam giác DMN và tam giác EMN có:
MD = ME
MN là cạnh chung
Do đó,
Suy ra ND = NE (hai cạnh tương ứng)
Vì MD = ME và ND = NE nên MN là đường trung trực của DE.
2. Dạng 2: Sử dụng tính chất ba đường trung trực của tam giác để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
*Phương pháp giải:
Để chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ta chứng minh O là giao điểm của hai đường trung trực của tam giác.
Bài tập luyện tập
Bài 1: Cho tam giác DEF có DE = 6cm; EF = 8cm. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.
ĐÁP ÁN
Lấy M là trung điểm của DE, suy ra DM = ME = 3cm.
Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc với DE.
Lấy N là trung điểm của EF, suy ra EN = NF = 4cm.
Qua N kẻ đường thẳng d' vuông góc với EF.
d cắt d' tại O thì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.
Bài 2: Cho tam giác DMN vuông tại D. Trên nửa mặt phẳng bờ MN, khác phía với D lấy điểm P sao cho PM vuông góc với PN. Hãy xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMP.
ĐÁP ÁN
Gọi O là trung điểm của MN.
Xét tam giác DMN vuông tại D, theo chứng minh bài 1 dạng 3, suy ra O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác DMN.
Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN, nên OD = OM = ON (1)
Tương tự, tam giác PMN vuông tại P, ta có: OM = ON = OP (2)
Từ (1) và (2) ta có: OD = OM = OP
Hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMP.
3. Dạng 3: Đường trung trực của tam giác cân, tam giác đều và tam giác vuông.
Bài tập luyện tập
Bài 1: Chứng minh rằng trong tam giác vuông, giao điểm của ba đường trung trực là trung điểm của cạnh huyền.
ĐÁP ÁN
Xét tam giác AMN vuông tại A, ta có
Gọi P là giao điểm của các đường trung trực của cạnh AM và AN.
Ta có: DA = DM. Khi đó DP cũng là đường trung tuyến của tam giác APM nên tam giác APM cân tại P.
Tương tự EA = EN. Khi đó EP cũng là đường trung tuyến của tam giác APN nên tam giác APN cân tại P.
Do đó:
Mà PM = PN (= PA)
Ta có P là giao điểm của hai đường trung trực và P là trung điểm của cạnh huyền MN
nên giao điểm của ba đường trung trực của tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
Bài 2: Cho tam giác OPQ cân tại O, đường trung tuyến OH. Đường trung trực của OQ cắt OH tại D. Chứng minh rằng DO = DP.
ĐÁP ÁN
Vì tam giác OPQ cân tại O nên OH vừa là đường trung tuyến cũng là đường trung trực của PQ.
Vì D là giao điểm của các đường trung trực của PQ và OQ
nên D cũng thuộc đường trung trực của OP
Suy ra DO = DP.
Qua bài viết này, các em đã hiểu rõ hơn về đường trung trực là gì, tính chất của đường trung trực của đoạn thẳng, đường trung trực của tam giác như thế nào. Để tìm hiểu các dạng bài tập khác các em hãy truy cấp vào website VOH Giáo Dục để có thể xem được những bài viết hữu ích, giúp các em học tốt nhé.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang