Table of Contents
Thế nào là đường trung trực của đoạn thẳng? Và các tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng được sử dụng trong các bài toán như thế nào? Các bạn hãy cùng theo dõi bài viết này nhé.
1. Đường trung trực của đoạn thẳng là gì?
Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
Ví dụ: Theo hình 7.1 ta có:
M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB tại M. Ta nói: Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
2. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
- Định lí 1 (định lí thuận): Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Cụ thể, nếu điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB thì MA = MB
- Định lí 2 (định lí đảo): Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Cụ thể, nếu MA = MB thì M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
3. Cách vẽ đường trung trực của đoạn thẳng bằng compa
Để vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB cho trước bằng thước và compa, ta thực hiện theo các bước:
- Bước 1: Lấy điểm A làm tâm vẽ cung tròn có bán kính
. Lấy điểm B làm tâm vẽ cung tròn có bán kính R. Hai cung tròn này cắt nhau tại P và Q. - Bước 2: Dùng thước vẽ đường thẳng PQ, đó là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
4. Các dạng bài tập đường trung trực của đoạn thẳng
4.1. Dạng 1: Chứng minh đường thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng
Bài 1: Cho tam giác DMA cân tại D, có đường trung tuyến DK. Chứng minh DK là đường trung trực của đoạn thẳng MA.
ĐÁP ÁN
Vì tam giác DMA cân tại D, suy ra DM = DA
Vì DK là đường trung tuyến nên K là trung điểm của MA, suy ra MK = KA.
Xét
MK = KA
DK là cạnh chung
DM = DA
Suy ra
mà
Vì K là trung điểm của MA và
4.2. Dạng 2: Vận dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng để giải các bài toán liên quan
Bài 1: Cho hai điểm E, F nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN. Chứng minh
ĐÁP ÁN
Vì E, F nằm trên đường trung trực của MN, nên ME = NE và MF = NF
Xét tam giác MEF và tam giác NEFcó
ME = NE
MF = NF
EF là cạnh chung
Do đó,
Bài 2: Cho tam giác DEF vuông tại D có DE < DF và đường cao DM. Trên tia đối của tia MD lấy điểm N sao cho MD = MN. Chứng minh rằng tam giác EFN vuông tại N.
ĐÁP ÁN
Vì MD = MN (giả thiết) nên M là trung điểm của DN.
Vì EF vuông góc với DN tại M và M là trung điểm của DN
Xét
FD = FN (cmt)
EF là cạnh chung
ED = EN (cmt)
Suy ra,
Suy ra
Vậy tam giác EFN vuông tại N.
Bài 3: Cho tam giác MEF cân tại M. Đường trung trực của ME và MF cắt nhau tại O
a) Chứng minh E, O, F thẳng hàng
b) Chứng mình O là trung điểm của EF.
ĐÁP ÁN
a) Vì O thuộc đường trung trực của ME, MF
Vậy E, O, F thẳng hàng.
b) Vì OE = OF và ba điểm E, O, F thẳng hàng nên O là trung điểm của EF.
4.3. Dạng 3: Một số bài tập nâng cao về đường trung trực của đoạn thẳng
Bài 1: Cho tam giác DEF cân ở D. Trên tia đối của tia EF lấy điểm M sao cho EM = ED, trên tia đối của tia FE lấy điểm N sao cho FN = FD. Kẻ trung tuyến EP của tam giác DME, trung tuyến FQ của tam giác DFN. EP và FQ cắt nhau ở O. Chứng minh DO vuông góc với MN.
ĐÁP ÁN
Vì EP, FQ là hai đường trung tuyến thuộc cạnh đáy DM và DN của tam giác cân DEM và DFN nên EP là đường trung trực của DM, FQ là đường trung trực của DN.
Vì O là giao điểm của EP và FQ, ta có: OD = OM, OD = ON, suy ra OM = ON
Suy ra O thuộc đường trung trực của MN (1)
Tam giác DEF cân ở D, nên
Xét tam giác DEM và tam giác DFN có:
DE = DF
EM = EN
Do đó,
Suy ra DM = DN (2 cạnh tương ứng)
Vậy điểm D thuộc đường trung trực của MN (2)
Từ (1) và (2), suy ra DO là đường trung trực của MN
Vậy DO vuông góc với MN.
Bài 2: Cho tam giác AEM có
a) Tam giác APE và tam giác AQM là tam giác gì?
b) Tính số đo góc EKM?
ĐÁP ÁN
a) Vì P và Q lần lượt thuộc đường trung trực của AE và AM nên PA = PE và QA = QM
Do đó tam giác APE cân tại P và tam giác AQM cân tại Q.
b) Vì K thuộc đường trung trực của AE nên KE = KA
Nên tam giác KEA cân tại K, suy ra
Tương tự, K thuộc đường trung trực của AM nên KA = KM
Nên tam giác KAM cân tại K, suy ra
Ta có:
Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết, hi vọng bài viết này có thể giúp các bạn giải quyết được những vấn đề còn thắc mắc về đường trung trực của đoạn thẳng. Chúc các bạn học tập hiểu quả.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang