Table of Contents
Trong bài học trước, chúng ta đã tìm hiểu về tính chất tia phân giác của một góc. Bài viết sau đây sẽ giới thiệu cho các em về các tính chất đường phân giác trong một tam giác. Để củng cố các kiến thức trong bài học trước và làm quen với các khái niệm cũng như tính chất đường phân giác trong tam giác trong bài học mới, các em hãy cùng tìm hiểu qua bài viết sau đây nhé.
1. Đường phân giác của tam giác là gì?
Cho tam giác DEF, gọi điểm K là giao điểm của tia phân giác góc D với cạnh EF. Khi đó, đoạn thẳng DK được gọi là đường phân giác xuất phát từ đỉnh D của tam giác DEF, nghĩa là
2. Tính chất đường phân giác trong tam giác
Cho tam giác DEF có M, N lần lượt là giao điểm của tia phân giác góc E, F với cạnh DF, DE tương ứng. Gọi O là giao điểm của hai đường phân giác EM và FN. Khi đó, DO là đường phân giác xuất phát từ đỉnh D của tam giác DEF và điểm O cách đều ba cạnh của tam giác DEF.
Chứng minh
Kẻ OS, OT, OR vuông góc với DE, DF, EF tại S, T, R tương ứng.
Do O thuộc tia phân giác EM của góc E, nên theo định lí về tính chất của tia phân giác: “Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó”, ta có OS = OR. (1)
Tương tự, O thuộc tia phân giác FN của góc F, nên theo định lí về tính chất của tia phân giác, ta có OT = OR. (2)
Từ (1) và (2), suy ra OS = OT = OR hay O cách đều ba cạnh DE, DF, EF của tam giác DEF.
Suy ra điểm O cách đều hai cạnh DE, DF của góc D, do đó điểm O nằm trên tia phân giác của góc D (theo định lí đảo về tính chất của tia phân giác) hay DO là tia phân giác của góc D.
Vậy DO là đường phân giác xuất phát từ đỉnh D của tam giác DEF và điểm O cách đều ba cạnh của tam giác DEF.
3. Một số dạng toán liên quan đến tính chất đường phân giác trong tam giác
3.1. Dạng 1: Bài toán chứng minh
*Phương pháp giải:
Ta áp dụng khái niệm và tính chất đường phân giác trong tam giác đã học vào để giải quyết những yêu cầu của bài toán.
Ví dụ 1. Cho tam giác DEF cân tại D, gọi K là giao điểm của tia phân giác góc D với cạnh EF. Chứng minh hai tam giác DEK và DFK bằng nhau.
ĐÁP ÁN
Theo giả thiết có: Tam giác DEF là tam giác cân tại D, do đó DE = DF và
Ta xét tam giác DEK và tam giác DFK có:
+
+ DE = DF
+
Suy ra tam giác DEK bằng tam giác DFK (g.c.g).
3.2. Dạng 2: Tính số đo các góc trong tam giác
*Phương pháp giải:
Ta áp dụng khái niệm và tính chất đường phân giác trong tam giác, cùng với kiến thức đã học về tổng ba góc trong một tam giác để tính số đo các góc theo yêu cầu của đề bài.
Ví dụ 2. Cho tam giác DEF, gọi điểm O là giao điểm của ba đường phân giác xuất phát từ đỉnh D, E, F của tam giác DEF. Biết
Lời giải
Do EO là tia phân giác của góc E, nên ta có
Trong tam giác DEO có:
Suy ra
Mà DO là tia phân giác của góc D, nên ta có
Từ (*) và (* *), ta suy ra a = 33o.
4. Bài tập vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác
Bài 1. Cho tam giác DEF cân tại D, gọi K là giao điểm của tia phân giác góc D với cạnh EF. Chứng minh rằng: Đường phân giác DK xuất phát từ đỉnh D của tam giác cân DEF chính là đường trung tuyến của tam giác cân DEF.
ĐÁP ÁN
Theo Ví dụ 1 ta có: Hai tam giác DEK và DFK bằng nhau.
Do đó EK = FK hay K là trung điểm của cạnh EF.
Khi đó, ta được: Đường phân giác DK xuất phát từ đỉnh D của tam giác cân DEF chính là đường trung tuyến của tam giác cân DEF.
Bài 2. Cho tam giác DEF cân tại D, gọi K, M, N lần lượt là giao điểm của tia phân giác góc D, E, F với cạnh EF, DF, DE tương ứng. Chứng minh rằng: Hai đường phân giác EM xuất phát từ đỉnh E và FN xuất phát từ đỉnh F của tam giác cân DEF bằng nhau.
ĐÁP ÁN
Ta có EM là đường phân giác xuất phát từ đỉnh E của tam giác cân DEF nên ta được:
Lại có, FN là đường phân giác xuất phát từ đỉnh F của tam giác cân DEF nên ta được:
Mà
Từ (1), (2) và (3), ta suy ra
Ta xét tam giác ENF và tam giác FME có:
+
+ EF chung
+
Suy ra tam giác ENF bằng tam giác FME (g.c.g).
Do đó EM = FN (hai cạnh tương ứng).
Bài 3. Cho tam giác DEF, gọi O là điểm nằm trong tam giác DEF. Từ O ta kẻ OS, OT, OR vuông góc với DE, DF, EF tại S, T, R tương ứng sao cho OS = OT = OR. Chứng minh rằng ba đường phân giác của tam giác DEF đồng quy tại điểm O.
ĐÁP ÁN
Nhắc lại định lí đảo về tính chất của tia phân giác: “Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó”.
Vì điểm O nằm trong tam giác DEF nên điểm O nằm bên trong góc DEF, góc DFE và góc EDF.
Theo giả thiết, ta có OS = OT = OR. Khi đó
+ OS = OR, suy ra O cách đều hai cạnh DE và EF của góc E, mà O nằm bên trong góc DEF, nên theo định lí đảo về tính chất của tia phân giác ta được: O nằm trên tia phân giác của góc E. (1)
+ OT = OR, suy ra O cách đều hai cạnh DF và EF của góc F, mà O nằm bên trong góc DFE, nên theo định lí đảo về tính chất của tia phân giác ta được: O nằm trên tia phân giác của góc F. (2)
+ OS = OT, suy ra O cách đều hai cạnh DE và DF của góc D, mà O nằm bên trong góc EDF, nên theo định lí đảo về tính chất của tia phân giác ta được: O nằm trên tia phân giác của góc D. (3)
Từ (1), (2) và (3), ta suy ra ba đường phân giác của tam giác DEF đồng quy tại điểm O.
Bài 4. Cho tam giác DEF, gọi điểm O là giao điểm của ba đường phân giác xuất phát từ đỉnh D, E, F của tam giác DEF. Biết góc DOE có số đo bằng 120 độ. Tính số đo góc DFE.
ĐÁP ÁN
Trong tam giác DEF có:
Suy ra
Vì DO, EO lần lượt là tia phân giác của góc D, E nên ta được
Trong tam giác DEO có:
Suy ra
Từ (*) và (* *), suy ra
Bài viết trên đây đã tổng hợp các kiến thức trọng tâm về tính chất đường phân giác trong tam giác. Qua đó hy vọng các em nắm chắc lý thuyết và áp dụng làm tốt các bài tập liên quan đến phần kiến thức này.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang