Table of Contents
Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về định nghĩa hình thang vuông, dấu hiệu nhận biết và tính chất của hình thang vuông cùng những dạng toán liên quan. Trên cơ sở đó giúp các bạn lựa chọn được phương pháp học tập và nghiên cứu hiệu quả cho mình về môn toán học nói riêng và các môn học khác nói chung.
1. Nhắc lại về hình thang vuông
Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.
Trên hình 1, hình thang MNPQ có MN // PQ,
2. Tính chất hình thang vuông
Trong hình thang vuông, hai cạnh đáy song song với nhau, một cạnh bên vuông góc với hai đáy.
Cụ thể, trong hình 1, MNPQ là hình thang vuông. Khi đó: MN // PQ, MQ
3. Nhận biết hình thang vuông
Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông.
4. Công thức liên quan đến tính chất hình thang vuông
- Chu vi hình thang vuông bằng tổng các cạnh bên và cạnh đáy.
P = a + b + c + d
Trong đó:
P: Chu vi hình thang vuông
a, b lần lượt là độ dài 2 cạnh đáy
c, d lần lượt là độ dài 2 cạnh bên
- Diện tích hình thang vuông bằng một nửa tích của tổng hai đáy và chiều cao ứng với hai cạnh đáy.
S =
Trong đó:
S: Diện tích hình thang vuông
a, b lần lượt là độ dài 2 cạnh đáy
h: độ dài cạnh bên vuông góc với hai đáy (chiều cao hình thang)
5. Các dạng bài tập cơ bản liên quan đến tính chất hình thang vuông
5.1. Dạng 1: Tính chu vi, diện tích sử dụng tính chất hình thang vuông
Bài 1: Cho hình thang vuông MNPQ (MN // PQ;
ĐÁP ÁN
Chu vi hình thang MNPQ là:
P = MN + NP + PQ + QM
= 4 + 3,5 + 5 + 3
= 15,5 cm
Diện tích hình thang MNPQ là:
S =
Bài 2: Cho hình vẽ, biết MNKH là hình vuông cạnh 4cm; MQ = NP = 5cm. Tính chu vi tứ giác MNPQ, diện tích tứ giác MNPH.
ĐÁP ÁN
Xét tam giác MQH vuông tại H có:
MQ2 = MH2 + QH2 (định lí Py- ta- go)
Xét tam giác MQH (
MQ = NP ( giả thiết)
MH = NK ( MNKH là hình vuông)
Do đó,
Vì MN // KH nên MN // PQ suy ra MNPQ là hình thang.
Ta có: PQ = PK + KH + HQ = 3+4+3=10cm.
Chu vi hình thang MNPQ là: P = MN + NP + PQ + QM = 4+5+10+5= 24cm.
Tứ giác MNPH có MN // PH nên MNPH là hình thang.
Hình thang MNPH có
Ta có: PH = PK + KH = 3+4=7cm
Diện tích hình thang MNPH là :
S =
Bài 3: Cho hình thang vuông ADMN có AD = AN = 3cm, MN = 6cm, kẻ DK vuông góc với MN tại K.
a) Chứng minh
b) Chứng minh tam giác DKM vuông cân tại K.
c) Tính diện tích hình thang ADMN.
ĐÁP ÁN
a) Vì ADMN là hình thang nên AD // MN
Xét
DN là cạnh chung
Do đó,
b) Vì
Ta có: NK + KM = NM
Tam giác DKM vuông tại K có DK = KM = 3cm, suy ra tam giác DKM vuông cân tại K.
c) Diện tích hình thang ADMN là:
S =
5.2. Dạng 2: Chứng minh tứ giác là hình thang vuông
Bài 1: Cho tam giác ADE vuông cân tại D. Vẽ về phía ngoài tam giác AME vuông cân tại A. Chứng minh tứ giác ADEM là hình thang vuông.
ĐÁP ÁN
Vì tam giác ADE vuông cân tại D nên
Vì tam giác AEM vuông cân tại A nên
Ta có:
Vì
mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía
nên AD // EM.
Tứ giác ADEM có AD // EM nên ADEM là hình thang.
Hình thang ADEM có
Bài 2: Cho tam giác MNP, trên tia MP lấy điểm D sao cho MN = MD, trên tia MN lấy điểm E sao cho ME = MP. Kẻ NH vuông góc với EP. Chứng minh tứ giác NDPH là hình thang vuông.
ĐÁP ÁN
Xét tam giác MND có MN = MD nên tam giác MND cân tại M.
Ta có:
Tương tự, tam giác MEP có ME = MP nên tam giác MEP cân tại M.
Ta có:
Từ (1) và (2), suy ra
mà hai góc này ở vị trí đồng vị
nên ND // EP
Tứ giác NDPH có ND // HP nên NDPH là hình thang.
Hình thang NDPH có
Bài 3: Cho tam giác AMN vuông tại M, có P là trung điểm của AN, Q là trung điểm của AM.
a) Chứng minh tam giác AMP cân tại P.
b) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.
ĐÁP ÁN
a) Vì P là trung điểm của AN nên MP là đường trung tuyến của tam giác AMN
Suy ra MP = PA = PN
Tam giác AMP có PM = PA nên tam giác AMP cân tại P.
b) Vì Q là trung điểm của AM nên PQ là đường trung tuyến của tam giác AMP.
Tam giác AMP cân tại P có PQ là đường trung tuyến nên PQ là đường cao
suy ra, PQ vuông góc với AM.
Ta có: PQ
Suy ra PQ // MN.
Tứ giác MNPQ có PQ // MN nên MNPQ là hình thang
Hình thang MNPQ có
Như vậy, bài viết này đã tổng hợp đầy đủ tính chất và các vấn đề liên quan đến hình thang vuông một cách đầy đủ nhất. Hãy nắm vững kiến thức để có thể dễ dàng giải các bài toán từ cơ bản đến nâng cao nhé. Các bạn có thể xem thêm nhiều dạng bài tập khác ở VOH giáo dục để có thể học tốt nhé.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang