Table of Contents
Chúng ta đã biết có ba vị trí tương đối của đường tròn. Vậy với hai đường tròn cho trước, làm thế nào để xác định được vị trí của đường tròn đó là gì? Bài viết dưới đây sẽ giúp các bạn học sinh giải đáp được câu hỏi này và nêu ra một số dạng bài tập cùng phương pháp giải để các bạn học sinh dễ dàng nắm bắt.
1. Nhắc lại các vị trí tương đối của hai đường tròn
a. Hai đường tròn cắt nhau
Hai đường tròn cắt nhau là hai đường tròn có hai điểm chung.
Ví dụ: Đường tròn tâm O và đường tròn tâm O1 là hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm M và N
b. Hai đường tròn tiếp xúc với nhau
Hai đường tròn gọi là tiếp xúc với nhau nếu chúng có 1 điểm chung
Có hai trường hợp tiếp xúc của hai đường tròn là:
* Hai đường tròn tiếp xúc ngoài:
* Hai đường tròn tiếp xúc trong:
c. Hai đường tròn không giao nhau
Hai đường tròn không giao nhau là hai đường tròn không có điểm chung nào
Có ba trường hợp của hai đường tròn không giao nhau
* Hai đường tròn ngoài nhau:
* Hai đường tròn đựng nhau:
* Hai đường tròn đồng tâm
2. Cách xác định vị trí tương đối của đường tròn
2.1. Hai đường tròn cắt nhau
Xét hình vẽ dưới đây
Nếu hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm M, N khi đó MN là dây chung của hai đường tròn. Ta có
- Đoạn OO1 được gọi là đoạn nối tâm.
- Nếu OM = r, O1M = r1 thì
|r – r1| < OO1 < r + r1
Khi đó, đường tròn tâm O và đường tròn tâm O1 được gọi là cắt nhau.
*Chú ý: Đường nối tâm chính là trung trực của dây chung
2.2. Hai đường tròn tiếp xúc với nhau
2.2.1. Tiếp xúc ngoài
Xét hình vẽ dưới đây
Nếu (O) và (O1) gọi là tiếp xúc ngoài tại A thì
OO1 = OA + O1A = r + r1 với OA = r, O1A = r1
2.2.2. Tiếp xúc trong
Nếu (O) và (O1) gọi là tiếp xúc trong tại B thì
OO1 = |OB – O1B| = |r – r1| với OB = r, O1B = r1
2.3. Hai đường tròn không giao nhau
2.3.1. Hai đường tròn ngoài nhau
Xét hình vẽ dưới đây
Hai đường tròn (O; r) và (O1; r1) gọi là ngoài nhau nếu
OO1 > r + r1
2.3.2 Hai đường tròn đựng nhau
Xét hình vẽ dưới đây
Hai đường tròn (O; r) và (O1; r1) gọi là đựng nhau nếu
OO1 < | r - r1|
2.3.3. Hai đường tròn đồng tâm
Hai đường tròn (O) và (O1) gọi là đồng tâm nếu
OO1 = 0
3. Các dạng bài tập vận dụng cách xác định vị trí tương đối của đường tròn
3.1. Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của đường tròn
*Phương pháp giải:
Dựa vào cách xác định, điều kiện về vị trí tương đối của hai đường tròn
Ví dụ: Cho hai đường tròn O có bán kính r = 3cm, đường tròn O1 có bán kính r1 = 4 cm. Biết OO1 = 6. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O); (O1)
Ta có: r + r1 = 3 + 4 = 7
Mà OO1 = 6 => OO1 < r + r1
=> Hai đường tròn cắt nhau
Bài tập luyện tập
Bài 1: Xác định vị trí tương đối của đường tròn biết
a) (O; 4); (O1; 2) và OO1 = 2
b) (O; 3); (O1; 6) và OO1 = 8
c) (O; 4); (O1; 3); OO1 = 1
d) (O; 5); (O1; 6) và OO1 = 13
e) (O; 1); (O; 3) và OO1 = 4
ĐÁP ÁN
a) (O; 4); (O1; 2) và OO1 = 2
Ta có: r + r1 = 4 + 2 = 6
Mà OO1 = 2 => OO1 < r + r1
=> hai đường tròn cắt nhau
b) (O; 3); (O1; 6) và OO1 = 8
Ta có: r + r1 = 3 + 6 = 9
Mà OO1 = 8 => OO1 < r + r1
=> Hai đường tròn cắt nhau
c) (O; 4); (O1; 3); OO1 = 1
Ta có: r - r1 = 4 - 3 = 1
Mà OO1 = 1 => OO1 = r - r1
=> Hai đường tròn tiếp xúc trong
d) (O; 5); (O1; 6) và OO1 = 13
Ta có: r + r1 = 5 + 6 = 11
Mà OO1 = 13 => OO1 > r + r1
=> Hai đường tròn ngoài nhau
e) (O; 1); (O; 3) và OO1 = 4
Ta có: r + r1 = 1 + 3 = 4
Mà OO1 = 4 => OO1 = r + r1
=> Hai đường tròn tiếp xúc ngoài
Bài 2: Cho đoạn thẳng MN = 4cm, P là trung điểm của MN. Xác định vị trí tương đối của đường tròn (M; MP ) và đường tròn (N; NP)
ĐÁP ÁN
Ta có: MP = 2cm; NP = 2cm
Đoạn nối tâm MN = MP + NP = 4cm => hai đường tròn tiếp xúc nhau
Bài 3: Cho đoạn thẳng MN = 10cm, P là trung điểm của MN. A là điểm nằm giữa MP; B là điểm nằm giữa NP. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (M; MA) và đường tròn (N; NB)
ĐÁP ÁN
Ta có: MA < MP; NB < NP
=> MA + MB < MP + NP = MN
=> Hai đường tròn ngoài nhau
3.2. Dạng 2: Dựa vào vị trí tương đối của hai đường tròn để tính toán
*Phương pháp giải:
Dựa vào điều kiện vị trí tương đối của hai đường tròn sau đó tính toán
Ví dụ: Cho hai đường tròn (O; 3) và đường tròn (O1; 6) tiếp xúc ngoài nhau.
Tính độ dài đường nối tâm OO1
Hướng dẫn giải
Nhắc lại: Nếu (O) và (O1) gọi là tiếp xúc ngoài tại A thì
OO1 = OA + O1A = r + r1 với OA = r, O1A = r1
Vì vậy, OO1 = 3 + 6 = 9
Vậy đường nối tâm OO1 = 9
Bài tập luyện tập
Tính độ dài đường nối tâm biết
a) Đường tròn (O; 9) và đường tròn (O1; 2) tiếp xúc trong với nhau
b) Đường tròn (O; 3) và đường tròn (O1; 5) tiếp xúc ngoài với nhau
c) Đường tròn (O; 10) và đường tròn (O1; 20) đồng tâm với nhau
ĐÁP ÁN
a) Đường tròn (O; 9) và đường tròn (O1; 2) tiếp xúc trong với nhau
Ta có: OO1 = r - r1 = 9 - 2 = 7
Vậy đường nối tâm OO1 = 7
b) Đường tròn (O; 3) và đường tròn (O1; 5) tiếp xúc ngoài với nhau
Ta có: OO1 = r + r1 = 3 + 5 = 8
Vậy đường nối tâm OO1 = 8
c) Đường tròn (O; 10) và đường tròn (O1; 20) đồng tâm với nhau
Vì hai đường tròn đồng tâm nên đoạn nối tâm OO1 = 0
Vậy bài viết này đã tổng hợp toàn bộ lý thuyết và các dạng bài tập về cách xác định vị trí tương đối của đường tròn. Hy vọng sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn trong quá trình học tập của mình.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang