Table of Contents
Trong chương trình lớp 6, ta đã được giới thiệu cơ bản về đường tròn. Ở bài học lớp 9 dưới đây sẽ củng cố cho các em về khái niệm đường tròn và trình bày cho các em phần kiến thức liên quan đến các tính chất đối xứng của đường tròn, đồng thời tổng hợp một số dạng toán hay về đường tròn. Cùng tìm hiểu nhé!
1. Đường tròn là gì?
Định nghĩa đường tròn: Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R.
Chú ý: Đường tròn tâm O bán kính R, kí hiệu là (O ; R) hay (O) khi không cần chú ý đến bán kính.
Nhận xét:
(1) Nếu điểm N thuộc đường tròn (O) ta nói điểm N nằm trên đường tròn (O) hoặc đường tròn (O) đi qua điểm N. Điểm N nằm trên đường tròn (O ; R) tương đương ON = R.
(2) Điểm N nằm ở trong đường tròn (O ; R) tương đương ON < R.
(3) Điểm N nằm ở ngoài đường tròn (O ; R) tương đương ON > R.
2. Cách xác định đường tròn
- Một đường tròn được xác định khi ta biết tâm và bán kính của đường tròn ấy, hay khi ta biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn ấy.
- Qua ba điểm M, N , P không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
- Cho tam giác MNP, đường tròn đi qua ba đỉnh M, N, P được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP, còn tam giác MNP được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn.
Chú ý: Cho ba điểm thẳng hàng, ta không vẽ được bất kỳ đường tròn nào đi qua ba điểm đó.
3. Đường tròn có bao nhiêu tâm đối xứng?
Đường tròn là một hình có tâm đối xứng. Tâm của một đường tròn chính là tâm đối xứng của đường tròn đó.
4. Đường tròn có bao nhiêu trục đối xứng?
Đường tròn là một hình có trục đối xứng. Bất kỳ đường kính nào của đường tròn cũng chính là trục đối xứng của đường tròn đó.
5. Các dạng toán về đường tròn
5.1. Dạng 1: Bài toán dựng đường tròn
* Phương pháp giải:
Ta có những kiểu dựng đường tròn sau đây:
• Dựng đường tròn khi ta biết tâm và bán kính của đường tròn đó.
• Dựng đường tròn khi ta biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó. Cụ thể, cho đoạn thẳng MN là đường kính của đường tròn. Khi đó, trung điểm của đoạn thẳng MN chính là tâm của đường tròn, khoảng cách từ tâm đến điểm M hoặc N là bán kính của đường tròn đó.
• Dựng đường tròn đi qua ba điểm M, N , P không thẳng hàng. Nối ba điểm này lại với nhau ta được tam giác MNP, từ đó ta dựng đường tròn đi qua ba đỉnh M, N, P của tam giác MNP. Khi đó, giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh tam giác chính là tâm của đường tròn, khoảng cách từ tâm đến điểm M, N, P là bán kính của đường tròn đó.
Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng MN. Em hãy dựng đường tròn (O), biết đoạn thẳng MN là đường kính của đường tròn này.
ĐÁP ÁN
Kẻ đoạn thẳng MN.
Gọi điểm O là trung điểm của đoạn thẳng MN, khi đó O là tâm của đường tròn đường kính MN.
Từ đó ta dựng được đường tròn tâm O, bán kính R = OM (hay ON).
5.2. Dạng 2: Bài toán tính bán kính của đường tròn
* Phương pháp giải:
Ta dựa vào giải thiết đề bài cho và vận dụng các định lí, tính chất của đường tròn để thực hiện tính bán kính của đường tròn.
Ví dụ 2: Cho tam giác MNP vuông tại M. Biết MN = 3 cm và MP = 4 cm. Em hãy tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông MNP.
ĐÁP ÁN
Gọi O là trung điểm của cạnh NP, ta có NO = PO.
Khi đó MO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền NP.
Vì đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền, do đó MO = NO = PO.
Suy ra O là tâm và NP là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
Xét tam giác MNP vuông tại M, có MN2 + MP2 = NP2 (định lí Pytago).
Suy ra NP2 = 32 + 42 = 25 hay NP = 5 (cm).
Khi đó, bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông MNP là: R = 5 : 2 = 2,5 (cm).
Vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông MNP bằng 2,5 cm.
6. Một số bài tập ứng dụng về đường tròn
Bài 1. Hãy hoàn thiện các câu dưới đây:
Đường tròn tâm Q bán kính 3,5 cm là hình gồm các điểm có khoảng cách đến Q bằng . . .;
Tâm đối xứng của đường tròn là . . .;
. . . của đường tròn chính là trục đối xứng của đường tròn;
Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là . . . của cạnh huyền;
ĐÁP ÁN
a) Đường tròn tâm Q bán kính 3,5 cm là hình gồm các điểm có khoảng cách đến Q bằng 3,5 cm;
b) Tâm đối xứng của đường tròn là tâm của đường tròn;
c) Đường kính của đường tròn chính là trục đối xứng của đường tròn;
d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền;
Bài 2. Hình tròn tâm K có bán kính bằng 1,6 cm là hình gồm những điểm:
Cách tâm K một khoảng bằng 1,6 cm.
Cách tâm K một khoảng nhỏ hơn 1,6 cm.
Cách tâm K một khoảng lớn hơn hoặc bằng 1,6 cm.
Cách tâm K một khoảng nhỏ hơn hoặc bằng 1,6 cm.
ĐÁP ÁN
Hình tròn tâm K là hình gồm tất cả các điểm nằm ở trong và nằm trên đường tròn tâm K.
Suy ra hình tròn tâm K có bán kính bằng 1,6 cm là hình gồm những điểm cách tâm K một khoảng nhỏ hơn hoặc bằng 1,6 cm.
Chọn đáp án D.
Bài 3. Cho đường thẳng d và hai điểm M, N không nằm trên đường thẳng d. Biết M và N nằm cùng phía so với d. Em hãy dựng đường tròn (O) đi qua hai điểm M và N sao cho tâm O của đường tròn này nằm trên đường thẳng d.
ĐÁP ÁN
Ta nối M với N được đoạn thẳng MN.
Kẻ đường trung trực d’ của đoạn thẳng MN.
Ta có đường tròn (O) đi qua hai điểm M và N, nên d’ là trục đối xứng của đường tròn.
Vì bất kỳ đường kính nào của đường tròn cũng chính là trục đối xứng của đường tròn đó.
Suy ra tâm O của đường tròn luôn nằm trên trục đối xứng của đường tròn.
Do đó tâm O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Mà tâm O của đường tròn này nằm trên đường thẳng d.
Suy ra O là giao điểm của đường thẳng d và đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Từ đó ta dựng được đường tròn tâm O, bán kính OM (hay ON).
Bài 4. Cho hình vuông MNPQ có độ dài cạnh bằng 2 cm. Bốn đỉnh M, N, P, Q của hình vuông MNPQ có cùng thuộc một đường tròn hay không? Vì sao? Nếu thuộc, em hãy tính bán kính của đường tròn này.
ĐÁP ÁN
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ.
Vì MNPQ là hình vuông, nên OM = ON = OP = OQ.
Suy ra điểm O là tâm của đường tròn có bán kính bằng OM (hay ON, OP, OQ).
Do đó bốn đỉnh M, N, P, Q của hình vuông MNPQ cùng thuộc một đường tròn.
Xét tam giác MNQ vuông tại M có MN2 + MQ2 = NQ2 (định lí Pytago).
Suy ra NQ2 = 22 + 22 = 8 hay NQ =
Khi đó, bán kính của đường tròn tâm O là: R =
Vậy bán kính của đường tròn đi qua bốn đỉnh của hình vuông MNPQ bằng
Bài 5. Để chuẩn bị cho buổi liên hoan cuối năm. Gia đình bạn Vân chuẩn bị một cái bàn với mặt bàn có dạng hình tròn. Bạn Vân dự định đặt một lọ hoa hình trụ vào vị trí tâm của mặt bàn hình tròn. Em hãy giúp bạn Vân xác định vị trí để lọ hoa.
ĐÁP ÁN
Đầu tiên, ta đánh dấu ba điểm bất kỳ ở mép mặt bàn hình tròn sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ không quá lớn vừa đủ để ta dùng thước thẳng đo được.
Ta nối hai cặp điểm bất kỳ trên với nhau sao cho chúng tạo thành hai đoạn thẳng.
Trên mỗi đoạn thẳng ta xác định trung điểm của chúng bằng thước thẳng.
Tiếp theo, ta vẽ hai đường trung trực của hai đoạn thẳng trên.
Giao của hai đường trung trực đó chính là tâm của mặt bàn hình tròn.
Bài viết trên đã tổng quát cho các em về định nghĩa đường tròn và trình bày cho các em phần kiến thức liên quan đến các tính chất đối xứng của đường tròn. Hy vọng qua đây các em sẽ nắm rõ các kiến thức và giải được các bài tập trên lớp.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang