Table of Contents
Ở các bài viết trước chúng ta đã biết đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác, đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Vậy các bạn đã từng nghe qua khái niệm đường tròn bàng tiếp tam giác chưa? Hôm nay, VOH Giáo Dục sẽ giới thiệu đến các bạn bài học về đường tròn bàng tiếp tam giác và các dạng bài tập thường gặp ở dạng này. Các bạn hãy theo dõi nhé!
1. Đường tròn bàng tiếp tam giác là gì?
Đường tròn nằm ngoài tam giác tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh còn lại của tam giác được gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác. Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm của một đường phân giác góc trong và hai đường phân giác góc ngoài tại hai đỉnh còn lại của tam giác.
Như vậy với mỗi tam giác chúng ta có ba đường tròn bàng tiếp.
2. Cách vẽ đường tròn bàng tiếp tam giác
Để vẽ đường tròn bàng tiếp trong góc M của tam giác MNF chúng ta có thể thực hiện theo một trong hai cách sau:
+ Cách 1: Vẽ đường phân giác góc M và đường phân giác góc ngoài tại N (hoặc F). Trong trường hợp này tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc M chính là giao điểm của đường phân giác góc M và đường phân giác góc ngoài tại N (hoặc F). Gọi giao điểm đó là D và từ D ta kẻ DH vuông góc với NF (H ∈ NF). Khi đó đường tròn tâm D, bán kính DH chính là đường tròn bàng tiếp trong góc M của tam giác MNF.
+ Cách 2: Vẽ hai đường phân giác của các góc ngoài tại N và F. Trong trường hợp này tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc M chính là giao điểm của hai đường phân giác góc ngoài tại N và F. Gọi giao điểm đó là D và từ D ta kẻ DH vuông góc với NF (H ∈ NF). Khi đó đường tròn tâm D, bán kính DH chính là đường tròn bàng tiếp trong góc M của tam giác MNF.
- Đối với hai đường tròn bàng tiếp trong góc N và góc F của tam giác MNF ta cũng thực hiện vẽ tương tự.
3. Bài tập áp dụng về đường tròn bàng tiếp tam giác
Bài 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
A. Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác.
B. Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm của hai đường trung tuyến của tam giác.
C. Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác là trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác khi tam giác đó là tam giác nhọn.
D. Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm của một đường phân giác góc trong và hai đường phân giác góc ngoài của tam giác.
ĐÁP ÁN
Chọn câu D.
Bài 2: Cách xác định tâm đường tròn bàng tiếp tam giác nào dưới đây là sai:
A. Tâm đường tròn bàng tiếp trong góc P của tam giác HPK là giao điểm của đường phân giác góc P và đường phân giác góc ngoài tại đỉnh H của tam giác HPK.
B. Tâm của đường tròn bàng tiếp trong góc P của tam giác HPK là giao điểm hai đường phân giác góc ngoài tại đỉnh P và K của tam giác HPK.
C. Tâm của đường tròn bàng tiếp trong góc P của tam giác HPK là giao điểm hai đường phân giác góc ngoài tại đỉnh H và K của tam giác HPK.
D. Tâm của đường tròn bàng tiếp trong góc P của tam giác HPK là giao điểm của đường phân giác góc P và hai đường phân giác góc ngoài tại đỉnh H và K của tam giác HPK.
ĐÁP ÁN
Chọn câu B.
Vì Tâm của đường tròn bàng tiếp trong góc P của tam giác HPK là giao điểm hai đường phân giác góc ngoài tại đỉnh H và K của tam giác HPK.
Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC, gọi G, O, K lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC. Hỏi trong ba điểm G, I, K điểm nào nằm ngoài đường tròn?
A. Điểm G
B. Điểm O
C. Điểm K
D. Cả ba điểm
ĐÁP ÁN
Chọn câu C.
Đểm G là trọng tâm nên điểm G luôn nằm trong tam giác.
Vì tam giác ABC nhọn nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trong tam giác. Nên điểm O nằm trong tam giác.
Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác luôn nằm ngoài tam giác. Nên điểm K nằm ngoài tam giác.
Bài 4: Cho tam giác MNF và D là giao điểm các đường phân giác của hai góc ngoài tại N và F. Gọi H, K, L theo thứ tự là hình chiếu của D trên các đường thẳng NF, MF, MN. Chứng minh rằng ba điểm H, K, L cùng nằm trên đường tròn tâm D.
ĐÁP ÁN
Ta có: ND là tia phân giác của góc LNF.
Mà DL, DH lần lượt là khoảng cách từ D đến NL, NF.
⇒ DL = DH (Theo tính chất của tia phân giác) (1)
Tương tự, ta có: FD là tia phân giác của góc KFN .
Mà DK, DH lần lượt là khoảng cách từ D đến FK, FN
⇒ DK = DH (Theo tính chất của tia phân giác) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ DL = DH = DK.
Khi đó L, H, K cùng thuộc đường tròn tâm D.
Đường tròn (D) chính là đường tròn bàng tiếp trong góc M của tam giác MNF.
Bài 5: Cho tam giác MHK có
a) Tính số đo góc MKD.
b) Tam giác KDM là tam giác gì? Vì sao?
ĐÁP ÁN
Gọi Kx, My lần lượt là tia đối của tia KH và MH.
Khi đó ta có góc xKM là góc ngoài tại đỉnh K của tam giác MHK
Suy ra
Ta có: D là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc H của tam giác MHK
Nên KD là tia phân giác của góc xKM.
Suy ra
b) Ta có góc KMH và góc KMy là hai góc kề bù
Nên
Suy ra
Ta có MD là tia phân giác của góc yMK (vì D là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc H của tam giác MHK)
Suy ra
Tam giác KMD có:
Suy ra
Vậy tam giác KDM cân tại M.
Như vậy thông qua bài viết này VOH Giáo Dục đã trình bày các kiến thức liên quan đến đường tròn bàng tiếp tam giác, cách vẽ đường tròn bàng tiếp tam giác và đưa ra một số bài tập vận dụng cùng với lời giải chi tiết. Mong rằng qua đây các bạn sẽ nắm vững kiến thức và làm tốt các bài tập tương tự. Chúc các bạn học tốt!
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang