Tứ giác nội tiếp: Định nghĩa, cách chứng minh và ví dụ minh họa

Tứ giác nội tiếp là một nội dung quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong chương trình môn Toán lớp 9 phần Hình học. Vậy, tứ giác nội tiếp là gì? Làm thế nào để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp. Để có thể trả lời cho những câu hỏi nêu trên, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Định nghĩa tứ giác nội tiếp

+ Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)

Ví dụ: Hình vẽ dưới đây cho chúng ta hình ảnh của một tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O.

2. Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp

2.1. Chứng minh tứ giác nội tiếp thông qua hai góc đối diện

+ Nếu tổng hai góc đối diện trong một tứ giác bằng 180⁰ thì tứ giác là tứ giác nội tiếp.

Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn. AH, BK lần lượt là các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B của tam giác ABC và cắt nhau tại S (H BC; K AC). Chứng minh tứ giác KSHC nội tiếp.

Giải

Xét tứ giác KSHC có:

= 90⁰ + 90⁰ = 180⁰

Vậy, tứ giác KSHC là tứ giác nội tiếp

2.2. Chứng minh tứ giác nội tiếp thông qua hai góc kề cùng nhìn một cạnh

+ Trong một tứ giác, nếu hai góc kề cùng nhìn một cạnh mà hai góc đó bằng nhau thì tứ giác là tứ giác nội tiếp.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là một điểm nằm giữa hai điểm A và C ( D khác A và C). Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại H. Chứng minh tứ giác BAHC là tứ giác nội tiếp.

Giải

+ Vì tam giác ABC vuông tại A nên = 90⁰

+ Vì đường thẳng qua C vuông góc với BD tại H nên = 90⁰

Suy ra: =  

Mà và cùng nhìn cạnh BC

Vậy, tứ giác BAHC là tứ giác nội tiếp.

3. Bài tập về tứ giác nội tiếp

3.1. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho tam đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC không chứa điểm A, lấy điểm D sao cho tam giác BDC là tam giác cân tại D và . Hỏi tứ giác ABDC có phải là tứ giác nội tiếp hay không? Tại sao?

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC. AH, BK, CQ lần lượt là các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Trong đó: H BC, K AC, Q AB. Hãy liệt kê các tứ giác nội tiếp có trong hình và giải thích.

Bài 3: Tứ giác ABCD là một tứ giác nội tiếp. Biết = 80⁰, = . Tìm các góc còn lại của tứ giác ABCD.

3.2. Trắc nghiệm

Bài 4: Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp. Trong các phát biểu dưới đây, phát biểu đúng là:

1.  = 90⁰
2.   = 180⁰
3.   = 90⁰
4.   = 180⁰

Bài 5: Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp. Biết = 75⁰ , khi đó:

1.  = 75⁰
2.   = 75⁰
3. = 105⁰
4.  = 105⁰

Bài 6: Cho các phát biểu sau đây:

(1) Hình bình hành là một tứ giác nội tiếp

(2) Hình chữ nhật là một tứ giác nội tiếp

(3) Hình thang vuông là một tứ giác nội tiếp

(4) Hình vuông là một tứ giác nội tiếp

Các phát biểu đúng là:

1. (1), (3)
2. (1), (2)
3. (3), (4)
4. (2), (4)

Mong rằng thông qua bài chuyên đề tứ giác nội tiếp, các em hãy ghi nhớ và nắm vững các cách chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp, đồng thời áp dụng vào giải quyết các bài tập liên quan. Chúc các em ôn tập, chuẩn bị thật tốt cho những kỳ thi quan trọng sắp tới.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang