028.38225933 (Hotline) - 028 3822 1188 (FM 95.6) - 028 38291 357
dai-hoi-dai-bieu-hcm
Điện thoại: 028.38225933 - 028.38225934
Đường dây nóng bạn nghe đài: 028.3891 357 - 0948747571
Sự kiện:  Học tập

Định nghĩa, tính chất và một số dạng toán của cấp số cộng

Cấp số cộng là gì? nó có những tính chất và các dạng toán nào? Bài viết này sẽ giúp các bạn tìm hiểu tổng quát về cấp số cộng.

Trong tất cả các phép toán mà bạn được học ở trung học phổ thông thì có lẽ cấp số cộng là một trong những phép toán được sử dụng nhiều nhất. Bài viết này chúng ta sẽ đi sâu để tìm hiểu về khái niệm, tính chất và một số bài tập liên quan thường gặp.

voh.com.vn-cap-so-cong-1

Cấp số cộng (Nguồn: Internet)

Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số hữu hạn hay vô hạn, trong đó kể từ số hạng thứ 2 thì mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng trước và một số d (công sai) không đổi.

Có nghĩa là unlà cấp số cộng

n2, un-1+d, vi nN*

Tính chất

Nếu unlà cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kế bên nó trong dãy số, tức là:

uk=uk-1+uk+12

Công sai

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Công sai d=un+1-un

Ví dụ: Ta có dãy số -3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 là một cấp số cộng với công sai d = 4

Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng khởi đầu là phần tử a1và công sai là d, thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức sau:

an=a1+n-1d

Tổng n số hạng đầu tiên

Giả sử unlà một cấp số cộng. Với mỗi số nguyên dương n, gọi Snlà tổng n số hạng đầu tiên của nó Sn=u1+u2+...+un khi đó ta có công thức:

Sn= u1+u2+...+un=nu1+un2=n2u1+n-1d2

Ví dụ: Công ty ABC đang thực hiện việc trả lương cho các nhân viên bán hàng theo phương thức: Mức lương của quý làm việc đầu tiên là 4,5 triệu đồng/quý và kể từ quý thứ 2 sẽ tăng lên 0,3 triệu đồng cho mỗi quý. Yêu cầu hãy tính tổng tiền lương 1 nhân viên nhận được sau 3 năm làm việc tại công ty.

Bài giải:

Với mỗi số nguyên dương n, được kí hiệu un(triệu đồng) là mức lương của nhân viên làm việc thứ n cho công ty.

Theo đề bài ta có:

u1= 4,5 ; un+1=un+0,3 vi n1

Từ đó ta có dãy số unlà một cấp số cộng với công sai d = 0,3

Do mỗi năm có 4 quý nên 3 năm sẽ có 12 quý. Như vậy theo yêu cầu của đề bài ta cần phải tính tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng un.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát ta được: u12=4,5 +12-1.0,3=7,8

Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên ta được:

S12=12.4,5+7,82=73,8 triu đng

Vậy tổng số tiền lương nhân viên nhận được sau 3 năm làm tại công ty là 73,8 triệu đồng.

Một số bài toán thông dụng

voh.com.vn-cap-so-cong-2

Bài tập mẫu (Nguồn: Internet)

Bài tập 1: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của dãy số?

  1. un= 5-3n
  2. un=n2-1
  3. un= 3n

Bài giải:

  1. Ta có un+1-un= 5-3n+1-5-3n=-3; nN*

Vậy unlà cấp số cộng có u1=2, công sai d = -3

  1. Ta có un+1-un=n+12-1-n2-1=12; nN*

Vậy unlà cấp số cộng có u1=-12, công sai d=12

  1. Ta có un+1-un=3n+1-3 = 2.3nun không phải là cấp số cộng

Bài tập 2: Cho 2 cấp số cộng

un=u1; u2;...;un có công sai d1vn=v1; v2;...;vn có công sai d2

Gọi tổng của n số hạng đầu của mỗi cấp số theo thứ tự là:

Sn= u1+u2+...+un= 7n+1 và Tn=v1+v2+..+vn= 4n+27Yêu cu: Tìm t s u11v11

Bài giải:

Ta có: Sn=2u1+n-1d1 và Tn=2v1+n-1d2Nên SnTn=2u1+n-1d12v1+n-1d2 1u11v11=u1+10d1v1+10d2=2u1+20d12v1+20d2 2

So sánh (1) và (2) => n = 21 nên u11v11=148111=43

Bên trên là những kiến thức thức tổng quát và một số bài tập thường gặp của cấp số cộng. Hy vọng bài viết có thể giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập.

Con quay hồi chuyển (Gyroscope) và ứng dụng trong đời sống : Con quay hồi chuyển là gì? Đặc điểm, nguyên lý hoạt động và ứng dụng của nó trong các thiết bị di động hiện nay.
Cách tính thể tích hình nón, hình chóp, hình chóp cụt : Dù bạn còn là học sinh hoặc ra trường rồi, thì việc nắm rõ cách tính thể tích hình nón sẽ là lợi thế rất lớn. Cùng tổng hợp lại các công thức quan trọng nhé!