Cấp số cộng là gì? Công thức tính cấp số cộng & bài tập ứng dụng

Trong tất cả các phép toán mà các em học sinh được học ở trung học phổ thông thì có lẽ cấp số cộng là một trong những phép toán được sử dụng nhiều nhất. Bài viết này chúng ta sẽ đi sâu để tìm hiểu về khái niệm, tính chất và một số bài tập toán cấp số cộng liên quan đến tính tổng, tìm số hạng và xác định công sai thường gặp.

1. Cấp số cộng là gì?

Định nghĩa cấp số cộng: Là một dãy số hữu hạn hay vô hạn, trong đó kể từ số hạng thứ 2 thì mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng trước và một số d (công sai) không đổi.

Có nghĩa là  là cấp số cộng

2. Tính chất cấp số cộng

Nếu là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kế bên nó trong dãy số, tức là:

3. Tính công sai cấp số cộng

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Công sai 

Ví dụ: Ta có dãy số -3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 là một cấp số cộng với công sai d = 4

4. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Nếu cấp số cộng khởi đầu là phần tử  và công sai là d, thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức cấp số cộng sau:

» Xem thêm: Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng chi tiết, đầy đủ

5. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Giả sử  là một cấp số cộng. Với mỗi số nguyên dương n, gọi  là tổng n số hạng đầu tiên của nó  khi đó ta có công thức:

Ví dụ: Công ty ABC đang thực hiện việc trả lương cho các nhân viên bán hàng theo phương thức: Mức lương của quý làm việc đầu tiên là 4,5 triệu đồng/quý và kể từ quý thứ 2 sẽ tăng lên 0,3 triệu đồng cho mỗi quý. Yêu cầu hãy tính tổng tiền lương 1 nhân viên nhận được sau 3 năm làm việc tại công ty.

Bài giải:

Với mỗi số nguyên dương n, được kí hiệu  (triệu đồng) là mức lương của nhân viên làm việc thứ n cho công ty.

Theo đề bài ta có:

Từ đó ta có dãy số là một cấp số cộng với công sai d = 0,3

Do mỗi năm có 4 quý nên 3 năm sẽ có 12 quý. Như vậy theo yêu cầu của đề bài ta cần phải tính tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng .

Áp dụng công thức số hạng tổng quát ta được: 

Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên ta được:

Vậy tổng số tiền lương nhân viên nhận được sau 3 năm làm tại công ty là 73,8 triệu đồng.

6. Một số bài tập về cấp số cộng

Bài tập 1: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của dãy số?

Bài tập 2: Cho 2 cấp số cộng

Gọi tổng của n số hạng đầu của mỗi cấp số theo thứ tự là:

Bên trên là những kiến thức thức tổng quát và một số bài tập thường gặp của cấp số cộng do VOH Giáo dục biên soạn và chia sẻ đến các em học sinh. Hy vọng bài viết có thể giúp ích cho các em hiểu và áp dụng công thức cấp số cộng giải các bài toán trong quá trình học tập.