Bài 2: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

1. Phương trình sinx = a  (1)

+ : phương trình  vô nghiệm.

+  :

Vẽ  đường tròn lượng giác tâm  , trục hoành là trục côsin, trục tung là trục sin. Trên trục tung lấy điểm   sao cho . Từ  kẻ đường thẳng vuông góc với trục sin

cắt đường tròn lượng giác tại   và   đối xứng với nhau qua trục sin (nếu   thì   trùng với ).

Số đo của tất cả các cung lượng giác   và  là tất cả các nghiệm của phương trình .

Gọi  là số đo bằng radian của một cung lượng giác , ta có

  sđ  

  sđ  

Phương trình  có nghiệm là  

Ta có thể viết:  

Chú ý:

+  

+  

Nếu số thực  thỏa mãn    thì ta viết  

Khi đó nghiệm của phương trình  được viết là  

và  

+

•  Đặc biệt:

*  

*  

*  

Ví dụ 1:

2. Phương trình cosx = a  (2)

+  : phương trình  vô nghiệm.

+ :

Tương tự  trường hợp phương trình , ta lấy điểm    trên trục hoành sao cho . Từ  kẻ đường thẳng vuông góc với trục côsin cắt đường tròn lượng

giác tại  và  đối xứng với nhau qua trục côsin (nếu  thì  trùng với  ).

Số đo của tất cả các cung lượng giác  và  là tất cả các nghiệm của phương trình .

Gọi  là số đo bằng radian của một cung lượng giác , ta có

  sđ  

  sđ   

Phương trình có nghiệm là .

Chú ý.

+  

+  

Nếu số thực   thỏa mãn    thì ta viết  

Khi đó nghiệm của phương trình  được viết là  

+

•  Đặc biệt:

+  

+  

+  

Ví dụ 2: Giải các phương trình:

a)  

b)  

c)  

d)  

Hướng dẫn giải

a)  Phương trình vô nghiệm vì  

b)    

c)    

d)  

3. Phương trình tanx = a (3)

Điều kiện của phương trình là:    

Với mỗi số , đồ thị hàm số  cắt đường thẳng   tại các điểm có hoành độ sai khác nhau một bội của  

Hoành độ của mỗi giao điểm là nghiệm của phương trình  

- Gọi  là hoành độ giao điểm ( ) thỏa mãn điều kiện  

Kí hiệu  ( đọc là ac-tang-a, nghĩa là cung có tang bằng ).  

Khi đó, nghiệm của phương trình là:  

* Chú ý:

a) Phương trình    

Tổng quát:

b)  Phương trình    

c)  Các trường hợp đặc biệt:

Ví dụ 3:

4. Phương trình cotx = a  (4)  

 - Điều kiện của phương trình là: x ≠

Căn cứ vào đồ thị hàm số , ta thấy với mỗi số , đường thẳng  cắt đồ thị hàm số  tại các điểm có hoành độ sai khác nhau một bội của  

Hoành độ của mỗi giao điểm là nghiệm của phương trình  

- Gọi x₁ là hoành độ giao điểm ( ) thỏa mãn điều kiện  

              Kí hiệu ( đọc là ac-côtang-a, nghĩa là cung có côtang bằng ).  

Khi đó, nghiệm của phương trình là:  

* Chú ý:

a) Phương trình    

Tổng quát:              

b)  Phương trình    

c)  Các trường hợp đặc biệt:

Ví dụ 4: 

5. Bài Luyện Tập Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Của Trường THPT Ninh Giang

Bài 1. Tìm tập nghiệm của phương trình

a) .

b)  

c)  

d)  

e)  

Bài 2. Giải các phương trình sau

a)  

b)  

c)  

d)  

Bài 3. Giải phương trình  với  

Bài 4. Giải phương trình (1)

Bài 5. Tìm nghiệm trên đoạn  của phương trình  

Biên soạn: GV. Lưu Thị Liên (THPT Ninh Giang)