Phương pháp giải phương trình tanx = a và ví dụ minh họa

Phương trình lượng giác là một nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 11. Bên cạnh các dạng phương trình sinx = a, cosx = a chúng ta đã được tìm hiểu ở những nội dung bài học trước thì phương trình lượng giác có dạng tanx = a cũng là một dạng phương trình thường xuyên xuất hiện trong phần bài tập cũng như bài kiểm tra. Vậy, công thức nghiệm của phương trình tanx = a là gì? Chúng ta có thể vận dụng công thức nghiệm của phương trình tanx = a vào giải quyết bài tập cụ thể ra sao? Để hiểu rõ hơn về các vấn đề nêu trên, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Công thức nghiệm của phương trình tanx = a

• Phương trình tanx = a có điều kiện xác định là cosx 0
• Nếu là một nghiệm của phương trình tanx = a, nghĩa là tan = a thì:

tanx = a x = + k    (k Z) (đối với số đo góc tính bằng đơn vị rađian)

tanx = a x = + k180⁰   (k Z) (đối với số đo góc tính bằng độ)

2. Giải phương trình tanx = a

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

1. tan = 1
2. tan4x = 4

Giải

a. Vì 1 = tan , nên ta có phương trình:

tan = tan 

= + k

x = + k4

(với k Z)

b. Gọi là góc mà tan = 4

Ta có: tan4x = 4

tan4x = tan

4x = + k

x = (với k  Z)

3. Tìm nghiệm của phương trình tanx = a trên khoảng đã cho

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình tan3x = với 0 < x <

Giải

Vì = tan , nên ta có:

tan3x =

tan3x = tan

3x = + k

x = (với k Z)

Theo đề bài: 0 < x < , nên ta có:

0 < <

- 0,17 < k < 1,33

Vì k Z nên suy ra k = 0 hoặc k = 1

+ Với k = 0, ta có: x =

+ Với k = 1, ta có: x =

4. Bài tập áp dụng về phương trình tanx = a

Bài 1: Phương trình tan = tan có nghiệm là

1. x = k20 , k Z
2. x = k10 , k Z
3. x = k , k Z
4. x = k15 , k Z

Bài 2: Phương trình tan(2x - 26⁰) = 2 có nghiệm là

1. x = + 26⁰ + k180⁰, k Z
2. x = + 13⁰ + k180⁰, k Z
3. x = + 13⁰ + k90⁰, k Z
4. x = + 26⁰ + 90⁰, k Z

Bài 3: Cho phương trình  tan(3x - 42⁰) = -1 và các phát biểu sau:

(1) Phương trình tan(3x - 42⁰) = -1 là phương trình có nghiệm x = -1⁰ + k180⁰

(2) Phương trình tan(3x - 42⁰) = -1 là phương trình có nghiệm x = -1⁰ + k60⁰

(3) Khi - 90⁰ < x < 0, phương trình tan(3x - 42⁰) = -1 có một nghiệm duy nhất

(4) Khi - 90⁰ < x < 0, phương trình tan(3x - 42⁰) = -1 có hai nghiệm khác nhau

(5) Khi - 90⁰ < x < 0, phương trình tan(3x - 42⁰) = -1 có ba nghiệm khác nhau

Trong những phát biểu nêu trên, các phát biểu đúng là:

1. (2), (3)
2. (1), (5)
3. (2), (4)
4. (1), (3)

Bài 4: Nghiệm của phương trình tanx - 1 = 0 khi 0⁰ < x < 60⁰ là

1. x = 45⁰ với k = 0
2. x = 45⁰ với k = -1
3. x = 45⁰ với k = 1
4. A, B, C đều sai

Bài 5: Phương trình tan( - 5x) = có nghiệm là

1. x = -k , k Z
2. x = -k2 , k Z
3. x = , k Z
4. x = , k Z

Bài 6: Cho phương trình:

tan( + 2x) = 1       (1) và phương trình

tan(2x - 45⁰) = -1      (2). Trong các kết luận sau đây, kết luận đúng là:

1. x = k90⁰, k Z là nghiệm của (2) nhưng không là nghiệm của (1)
2. x = k , k Z là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2)
3. (1) và (2) có cùng nghiệm
4. A, B, C đều sai

Bài viết trên đây trình bày công thức nghiệm của phương trình tanx = a và một số bài tập liên quan phổ biến. Mong rằng thông qua bài viết có thể phần nào giúp các em củng cố lại kiến thức, vận dụng giải các bài tập tương tự, ôn tập và chuẩn bị thật tốt cho các kì thi sắp tới.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang