Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác chi tiết, đầy đủ

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác là một trong những nội dung thường xuất hiện trong các bài kiểm tra 15' hay kiểm tra giữa kì I và cuối kì I môn Toán 11. Để không bị mất điểm về phần kiến thức này, các bạn cùng VOH Giáo Dục theo dõi bài viết dưới đây.

1. Các kiến thức về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

1.1. Các dạng phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

a.sin(u(x)) + b = 0 (a≠0)

a.cos(u(x)) + b = 0 (a≠0)

a.tan(u(x)) + b = 0 (a≠0)

a.cot(u(x)) + b = 0 (a≠0)

1.2. Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Xét phương trình a.sin(u(x)) + b = 0 (a≠0)

+ Bước 1: Ta chuyển b sang vế phải và đổi dấu, ta được a.sin(u(x)) = -b

+ Bước 2: Ta lấy -b chia cho a ta được sin(u(x)) =  

+ Bước 3: Giải phương trình sin(u(x)) =  và kết luận nghiệm.

2. Các dạng bài tập ứng dụng về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

2.1. Dạng toán 1: Giải phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Câu 1: Giải các phương trình sau:

a) 2.sin3x - = 0

b) tan5x = 7

c) 2cos - 1 = 0

d)

Câu 2: Phương trình tan(4x+12^o) - = 0 có các nghiệm là:

A. x = 12^o + k180^o, k ∈  

B. x = 48^o + k45^o, k ∈  

C. x = 12^o + k45^o, k ∈  

D. x = 48^o + k180^o, k ∈  

2.2. Dạng toán 2: Tìm số nghiệm của phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác thoả mãn điều kiện cho trước

Bài toán 1: Tìm số nghiệm của phương trình trong khoảng (a;b), đoạn [a;b] hoặc nửa khoảng (a;b].

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Giải phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác, các bước như ở mục 2 phần I.

+ Bước 2: Ta xét các nghiệm x trong khoảng (a;b): a < x < b; đoạn [a;b]: a ≤ x ≤ b; nửa khoảng (a;b]: a < x ≤ b. Từ đó suy ra k.

+ Bước 3: Kết luận: Ta đã biết k ∈  nên số nghiệm của phương trình chính là số giá trị k nguyên.

Bài toán 2: Tìm nghiệm nguyên dương bé nhất, nghiệm nguyên âm lớn nhất.

Bài tập vận dụng:

Câu 3: Trong các nghiệm dương bé nhất của phương trình sau, phương trình nào có nghiệm dương nhỏ nhất?

A. cotx = - 

B. cotx = 0

C. tan =  

D. tan2x = 1

Câu 4: Phương trình 5sinx - 5 = 0 có nghiệm thoả mãn 0 ≤ x ≤ 3π là:

A.  x = , x =

B. x =

C. x =

D. x =  + k2π

Câu 5: Số nghiệm của phương trình 7sin + 7 = 0 với π ≤ x ≤ 5π là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

2.3. Dạng toán 3: Tìm m để phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác có nghiệm, vô nghiệm

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Cô lập hàm số lượng giác. Nghĩa là vế trái ta để hàm số lượng giác, còn lại ta chuyển qua vế phải hoặc ngược lại.

+ Bước 2: Ta biện luận:

- Phương trình sin(u(x))=f(m), cos(u(x))=f(m) có nghiệm khi và chỉ khi -1 ≤ f(m) ≤ 1.

- Phương trình sin(u(x))=f(m), cos(u(x))=f(m) vô nghiệm khi và chỉ khi f(m) < -1 hoặc f(m) > 1.

+ Bước 3: Giải bất phương trình ra m và kết luận.

Bài tập vận dụng:

Câu 6: Cho phương trình cos - m - 2 = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm?

A. Không tồn tại m

B. m ∈ [-1; 3]

C. m ∈ [-3; -1]

D. Mọi giá trị của m

Câu 7: Để phương trình cos²(-7x) - m = 0 vô nghiệm, ta chọn:

A. Không tồn tại m

B. Mọi giá trị của m

C. m < 0 hoặc m > 1

D. m ≤ 0 hoặc m ≥ 1

Bài viết trên đưa tới cho các bạn các dạng toán kèm phương pháp và lời giải chi tiết và dễ hiểu. Phương trình bậc nhất đối với hàm lượng giác là nội dung quan trọng. Hy vọng qua bài viết trên, các bạn nắm chắc được nội dung và các dạng toán thường gặp này. Chúc các bạn đạt điểm tốt trong kì thi giữa kì sắp tới.

Biên soạn và chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang