Table of Contents
Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác có các bước giải như thế nào? Dấu hiệu nào để ta nhận biết được phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác? Mọi thắc mắc trên đều được giải đáp trong bài viết dưới đây. Các bạn cùng VOH Giáo Dục theo dõi nhé.
1. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác
Đó là phương trình có các dạng sau:
a.sin2(v(x)) + b.sin(v(x)) + c = 0
a.cos2(v(x)) + b.cos(v(x)) + c = 0
a.tan2(v(x)) + b.tan(v(x)) + c = 0
a.cot2(v(x)) + b.cot(v(x)) + c = 0
Ngoài ra, còn các dạng phương trình đưa về phương trình bậc 2 để giải. Phần phân dạng bài tập sẽ nêu rõ cho các bạn.
2. Phương pháp giải phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác
- Bước 1: Đặt ẩn phụ, nghĩa là đặt t = sin(v(x)) (hoặc cos(v(x)) hoặc tan(v(x)) hoặc cot(v(x))). Tìm điều kiện của ẩn phụ.
- Bước 2: Giải phương trình ẩn phụ
- Bước 3: Từ nghiệm t vừa tìm được ta trả biến, đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
Lưu ý:
+ Đối với phương trình bậc 2 đối với hàm sin hoặc hàm cos thì điều kiện ở bước 1 là -1 ≤ t ≤ 1 hay t ∈ [-1;1].
+ Đối với phương trình bậc 2 đối với hàm tan hoặc hàm cot thì không có điều kiện của t.
Ví dụ: Giải phương trình sau: sin2x - 4sinx - 5 = 0
Lời giải
• Cách 1: Áp dụng phương pháp nêu trên
Đặt t = sinx, -1 ≤ t ≤ 1.
Phương trình ⇔ t2 - 4t - 5 = 0
⇔
Với t = -1 ⇔ sinx = -1 ⇔ x =
Vậy phương trình có các nghiệm là x =
• Cách 2: Thực ra là việc làm tắt, bỏ qua bước đặt t.
sin2x - 4sinx - 5 = 0
⇔
⇔ sinx = -1
⇔ x =
Vậy phương trình có các nghiệm là x =
3. Các bài tập ứng dụng về phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác
Câu 1: Phương trình 4tan3x + 2cot3x - 6 = 0 có các nghiệm là
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn giải: Ta thấy phương trình vừa chứa hàm tan3x và cot3x, ta đưa phương trình về phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác. Áp dụng công thức: tan(u(x)).cot(u(x)) = 1 ⇒ cot(u(x)) =
Lời giải
Điều kiện:
4tan3x + 2cot3x - 6 = 0
⇔ 4tan3x + 2.
⇔ 4tan23x - 6tan3x + 2 = 0
Đặt t = tan3x.
Phương trình ⇔ 4t2 - 6t + 2 = 0
⇔
⇔
⇔
⇔
Vậy các nghiệm của phương trình là
Chọn đáp án A.
Câu 2: Phương trình 18sin2x - 27sinx + 9 = 0 có nghiệm nào thoả mãn điều kiện: 0 ≤ x <
A. x =
B. x =
C. x =
D. x =
ĐÁP ÁN
Phương trình: 18sin2x - 27sinx + 9 = 0
Đặt t = sinx, -1 ≤ t ≤ 1.
Phương trình ⇔ 18t2 - 27t + 9 = 0
⇔
⇔
⇔
Nghiệm thoả mãn điều kiện 0 ≤ x <
Chọn đáp án B.
Câu 3: Các điểm A, A', B, B' được biểu diễn trên đường tròn là các nghiệm của phương trình sin2x + 4sinx + 3 = 0 là:
A. sđ
B. sđ
C. sđ
D. sđ
ĐÁP ÁN
Phương trình: sin2x + 4sinx + 3 = 0
Đặt t = sinx, -1 ≤ x ≤ 1.
Phương trình ⇔ t2 + 4t + 3 = 0
⇔ t = -1 (nhận) hoặc t = -3 (loại)
Với t = -1 ⇒ sinx = -1 ⇔ x =
Vậy nghiệm của phương trình là sđ
Chọn đáp án C.
Câu 4: Phương trình
A. x =
B. x =
C. x =
D. x =
ĐÁP ÁN
Điếu kiện: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠
Phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Cho k = -1 ta được x = -π và x =
Vậy nghiệm âm lớn nhất là x =
Chọn đáp án D.
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị m để phương trình 2cos2x - (2m+1)cosx + m = 0 có nghiệm x ∈
A. 0 < m <
B.
C. 0 < m < 1
D. -1 < m < 0
ĐÁP ÁN
Phương trình: 2cos2x - (2m+1)cosx + m = 0
Đặt sinx = t (x ∈
Phương trình ⇔ 2t2 - (2m+1).t + m = 0
⇔ 2t2 - 2mt - t + m = 0
⇔ 2t.(t - m) - (t - m) = 0
⇔ (t - m).(2t - 1) = 0
⇔ t = m hoặc t =
⇔ m ∈ (0;
Chọn đáp án A.
Câu 5: Phương trình 7sin25x - 12cos5x + 5 = 0, đặt t = cos5x thì phương trình có dạng
A. -7t2 - 12t + 5 = 0
B. 7t2 - 12t + 5 = 0
C. 7t2 - 12t + 12 = 0
D. -7t2 - 12t + 12 = 0
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn giải: Ta thấy phương trình trên chưa là phương trình bậc 2 đối với một hàm lượng giác. Ta áp dụng công thức sin2(u(x)) + cos2(u(x)) = 1 ⇒ sin2(u(x)) = 1 - cos2(u(x)).
Lời giải
Phương trình ⇔ 7(1 - cos25x) - 12cos5x + 5 = 0
⇔ 7 - 7cos25x - 12cos5x + 5 = 0
⇔ - 7cos25x - 12cos5x + 12 = 0 (*)
Đặt t = cos5x, -1 ≤ t ≤ 1.
Phương trình (*) ⇔ -7t2 - 12t + 12 = 0
Chọn đáp án D.
Câu 6: Phương trình 13cot5x - 22tan5x + 19 = 0, đặt t = cot5x thì phương trình có dạng
A. 13t2 - 22t + 19 = 0
B. 13t2 + 19t - 19 = 0
C. 13t2 + 19t - 22 = 0
D. -13t2 + 19t - 22 = 0
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn giải: Ta thấy phương trình trên chưa là phương trình bậc 2 đối với một hàm lượng giác. Ta áp dụng công thức tan(u(x)).cot(u(x)) = 1 ⇒ tan(u(x)) =
Phương trình ⇔ 13cot5x - 22.
⇔ 13cot25x + 19cot5x - 22 = 0
Đặt t = cot5x
Phương trình ⇔ 13t2 + 19t - 22 = 0
Chọn đáp án C.
Câu 7: Số nghiệm của phương trình
A. 2
B. 1
C. 4
D. 3
ĐÁP ÁN
Điều kiện: sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈
Phương trình
Đặt t = cotx
Phương trình ⇔
⇔
+ Với t = 1 ⇒ cotx = 1 ⇔ x =
⇒ Có một nghiệm x =
+ Với t =
⇒ Không có nghiệm nào thoả mãn 0 ≤ x ≤
Vậy phương trình có 1 nghiệm thoả mãn yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án B.
Bài viết trên nêu rõ phương pháp giải phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác. Ngoài ra, VOH Giáo Dục đưa ra các dạng bài tập đa dạng và thường gặp kèm lời giải chi tiết. Chúc các bạn học tốt nội dung này.
Biên soạn và chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang