Phương trình đẳng cấp bậc 2 và bậc 3 đối với sin và cos

Trong các chuyên đề trước, chúng ta đã được học về các dạng phương trình lượng giác như phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tiếp tục cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu về một dạng phương trình mới, một dạng phương trình đưa về dạng phương trình bậc 2 và bậc 3 đối với một hàm số lượng giác đã học, đó là: Phương trình đẳng cấp bậc 2 và bậc 3 đối với sin x và cos x.

1. Phương trình đẳng cấp bậc 2

Phương trình đẳng cấp bậc 2 là phương trình lượng giác mà khi ta giải ta có thể đưa nó về dạng phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác đã học.

Phương trình đẳng cấp bậc 2 có dạng như sau:

m.sin²x + n.sin x.cos x + p.cos²x = q,     (*)

với m và p không đồng thời bằng 0.

* Phương pháp giải:

Để giải phương trình (*) ta có thể thực hiện một trong hai cách sau:

• Cách 1. Ta chia thành 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1:  Với cos x = 0, áp dụng công thức sin²x + cos²x = 1, ta suy ra sin²x = 1. Khi đó phương trình (*) trở thành: m = q.

Trường hợp 2:  Với . Ta chia cả 2 vế của phương trình (*) cho cos²x, khi đó phương trình (*) trở thành: m.tan²x + n.tan x + p = q.(1 + tan²x).

• Cách 2. Ta áp dụng các công thức hạ bậc đã học, đó là: để biến đổi phương trình (*) trở thành:

n.sin 2x + (p – m).cos 2x = 2q – m – n (đây chính là phương trình bậc nhât đối với sinx và cosx đã học).

Ví dụ 1: Em hãy giải phương trình sau đây: 7sin²x – 10sin x.cos x + 11cos²x = 4.  (*)

Lời giải

Trường hợp 1:  Với , ta suy ra sin²x = 1. Khi đó phương trình (*) trở thành: 7 = 4 (vô lý).

Do đó, không phải là nghiệm của PT (*).

Trường hợp 2:  Với . Ta chia cả 2 vế của phương trình (*) cho cos²x, khi đó phương trình (*) trở thành: 7tan²x – 10tan x + 11 = 4.(1 + tan²x),

hay 3tan²x – 10tan x + 7 = 0

Vậy phương trình (*) có nghiệm là .

2. Phương trình đẳng cấp bậc 3

Phương trình đẳng cấp bậc 3 là phương trình lượng giác mà khi ta giải ta có thể đưa nó về dạng phương trình bậc 3 đối với một hàm số lượng giác đã học.

Phương trình đẳng cấp bậc 3 có dạng như sau:

m.sin³x + n.cos³x + p.sin²x.cos x + q.sin x.cos²x + u.sinx + v.cosx = 0.      (**)

* Phương pháp giải:

Để giải phương trình (**) ta chia thành 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1:  Với , áp dụng công thức sin²x + cos²x = 1, ta suy ra sin²x = 1. Khi đó phương trình (**) trở thành: m.sin x + u.sin x = 0 hay (m + u).sin x = 0.

Trường hợp 2:  Với . Ta chia cả 2 vế của phương trình (**) cho cos³x, khi đó phương trình (**) trở thành:

m.tan³x + n + p.tan²x + q.tan x + u.tan x.(1 + tan²x) + v.(1 + tan²x) = 0,

hay    (m + u).tan³x + (p + v).tan²x + u.tan x + n + v = 0.

Ví dụ 2: Em hãy giải phương trình sau đây: 4cos³x + 5sin²x.cos x – 9sin x.cos²x = 0. (**)

Lời giải

Trường hợp 1:  Với , khi đó phương trình (**) trở thành: 0 = 0 (luôn đúng).

Do đó, là nghiệm của PT (**).

Trường hợp 2:  Với . Ta chia cả 2 vế của phương trình (**) cho cos³x. Khi đó, phương trình (**) trở thành: 4 + 5tan²x – 9tan x = 0,

hay 5tan²x – 9tan x + 4 = 0

Vậy phương trình (**) có nghiệm là .

3. Một số bài tập phương trình đẳng cấp

Bài 1. Em hãy giải phương trình sau đây: 6sin²x – 19sin x.cos x – 3cos²x = 2.  (1)

Bài 2. Em hãy giải phương trình sau đây: 8sin² 3x + 4sin 3x.cos 3x + cos² 3x = 5.  (2)

Bài 3. Em hãy giải phương trình sau đây: 3sin⁴x – 4sin²x.cos²x + cos⁴x = 0.  (3)

Bài 4. Em hãy giải phương trình sau đây: 3sin³x + sin 2x.sin x + 3sin x.cos²x + 2cos x = 0. (4)

Bài 5. Em hãy giải phương trình sau đây: 4cos³x + 3cos x = sin³x – sin x. (5)

Kết luận: Bài viết này cung cấp cho các em đầy đủ phương pháp giải và các ví dụ minh họa cụ thể cũng như bài tập áp dụng phong phú, giúp các em nắm thật chắc kiến thức về dạng phương trình đẳng cấp bậc hai và bậc ba đối với sin và cos này. Mong rằng, các bạn sẽ nắm rõ các phương pháp giải của dạng phương trình này, kết hợp làm nhuần nhuyễn các dạng bài tập liên quan.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang