Cách giải phương trình lượng giác đối xứng cực hay

Phương trình lượng giác đối xứng với sinx và cosx là dạng phương trình nâng cao từ các phương trình lượng giác cơ bản. Tuy sách giáo khoa không đề cập tới nhưng nó thường xuất hiện trong các đề kiểm tra giữa kì, đề cuối kì. Để nắm được phương pháp giải, VOH Giáo Dục mời các bạn theo dõi bài viết dưới đây.

1. Phương trình lượng giác đối xứng với sinx và cosx là gì?

1.1. Dạng phương trình lượng giác đối xứng với sinx và cosx

Dạng: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx = c (1)

trong đó: a, b, c ∈ và a.b ≠ 0.

1.2. Dạng phương trình lượng giác phản xứng với sinx và cosx

Dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx = c (2)

trong đó: a, b, c ∈ và a.b ≠ 0.

2. Phương pháp giải phương trình lượng giác đối xứng với sinx và cosx

2.1. Phương pháp giải phương trình lượng giác đối xứng với sinx và cosx

Ta xét phương trình dạng: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx = c (1) (với a, b, c ∈  ; a.b ≠ 0).

*Phương pháp giải:

Đặt t = sinx + cosx =  ⇒ t ∈ (vì sin ∈ [-1; 1] ∀x ∈ ).

t² = (sinx + cosx)² = sin²x + cos²x + 2sinx.cosx = 1 + 2sinx.cosx ⇒ sinx.cosx =

Phương trình (1) ⇔ at + b. = c (1.1).

Phương trình (1.1) là phương trình bậc hai theo ẩn t.

Ví dụ: Giải phương trình sau: 2(sinx + cosx) + sinx.cosx = 2        (3)

Giải

Đặt t = sinx + cosx =  ⇒ t ∈  

t² = (sinx + cosx)² = sin²x + cos²x + 2sinx.cosx = 1 + 2sinx.cosx ⇒ sinx.cosx =

Phương trình (3) ⇔ 2t + = 2

       ⇔ 4t + t² - 1 = 4

       ⇔ t² + 4t - 5 = 0

       ⇔

+ t = 1 hay sinx + cosx = 1

    ⇔ = 1

    ⇔ =

    ⇔ = sin

    ⇔

    ⇔

    ⇔

Vậy các nghiệm của phương trình (3) là x = k2π và x = + k2π, k ∈  

2.2. Phương pháp giải phương trình lượng giác phản xứng với sinx và cosx

Ta xét phương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx = c (2) (với a, b, c ∈  ; a.b ≠ 0).

*Phương pháp giải:

Đặt t = sinx - cosx = ⇒ t ∈ (vì sin ∈ [-1; 1] ∀x ∈ ).

t² = (sinx - cosx)² = sin²x + cos²x - 2sinx.cosx = 1 - 2sinx.cosx ⇒ sinx.cosx =

Phương trình (2) ⇔ at + b. = c (2.1).

Phương trình (2.1) là phương trình bậc hai theo ẩn t.

Ví dụ: Giải phương trình sau: sinx - cosx = sin2x    (4)

Giải

Ta có: sinx - cosx = sin2x

      ⇔ sinx - cosx = .2sinx.cosx

Đặt t = sinx - cosx = ⇒ t ∈  

t² = (sinx - cosx)² = sin²x + cos²x - 2sinx.cosx = 1 - 2sinx.cosx ⇒ sinx.cosx =

Phương trình (4) ⇔ t =

       ⇔ t = .(1 - t²)

       ⇔ t = - .t²

       ⇔  .t² + t - = 0

       ⇔

+ Trường hợp 1: t = hay sinx - cosx =

⇔ .sin =

⇔       sin =

⇔

⇔

⇔

+ Trường hợp 2: t = hay sinx - cosx =

⇔ .sin =

⇔ sin = -1

⇔ x - =

⇔ x        =

⇔ x        = + k2π, k ∈  

Vậy các nghiệm của phương trình (4) là x = + k2π; x = + k2π và x = + k2π, k ∈  

3. Các dạng toán về phương trình lượng giác đối xứng với sinx và cosx

Câu 1: Phương trình sinx + cosx - 1 = 2sinx.cosx (5) có bao nhiêu nhiệm trên [0; 2π] ?

A. 2 

B. 3

C. 4

D. 6

Câu 2: Nghiệm của phương trình sinx - cosx = 1 - sin2x là

A.

B.

C.

D.

Câu 3: Tổng các nghiệm của phương trình sinx.cosx + |cosx + sinx| = 1 (7) trên (0; 2π) là:

A. π

B. 2π

C. 3π

D. 4π

Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: sin2x +  - m = 0 có nghiệm.

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Câu 5: Phương trình cos³x + sin³x = cos2x có tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất là:

A.

B.

C.

D.

Trên đây là toàn bộ các dạng bài tập và phương pháp giải cụ thể về phương trình lượng giác đối xứng với sinx và cosx. Phương trình này là dạng nâng cao hơn so với các phương trình các bạn được học và làm bài tập trên lớp. Nó thường nằm ở câu chốt điểm. Qua bài viết trên, VOH Giáo Dục hy vọng các bạn nắm chắc và không bỏ qua dạng bài tập này để đạt kết quả cao.

Biên soạn và chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang