Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos cực hay

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác ta đặt ẩn phụ rồi đưa về phương trình lượng giác cơ bản. Câu hỏi đặt ra là: " Phương trình bậc nhất đối với sin và cos có đưa về phương trình lượng giác để giải hay không? Phương trình như thế nào là phương trình bậc nhất đối với sin và cos? ". Để giải quyết các thắc mắc trên, các bạn cùng học với VOH Giáo Dục trong bài viết dưới đây nhé.

1. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos có dạng gì?

Đó là phương trình có dạng: a.sin(u(x)) + b.cos(u(x)) = c       (*)

Trong đó: + a, b, c ∈  

      + a và b không đồng thời bằng 0, nghĩa là a² + b² ≠ 0

Lưu ý: Trường hợp a = 0, b ≠ 0 hoặc a ≠ 0, b = 0, phương trình (*) chính là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. Ta đưa về phương trình lượng giác cơ bản và giải.

2. Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos

Ta xét phương trình (*) trên mục I.

+ Trường hợp 1: Nếu a² + b² < c². Ta kết luận phương trình (*) vô nghiệm.

+ Trường hợp 2: Nếu a² + b² ≥ c². Ta thực hiện các bước dưới đây:

Chia hai vế cho ta được:

(*) ⇔ .sin(u(x)) + .cos(u(x)) =

Đặt

⇒ (*) ⇒ cosv.sin(u(x)) + sinv.cos(u(x)) =

⇔ sin(u(x) + v) =  (**)

Đây là phương trình lượng giác có bản đối với hàm sin.

Phương trình (**) có nghiệm khi:

≤ 1 ⇔ ≤ 1 ⇔ a² + b² ≥ c²

* Bạn có thể đặt:

⇒ (*) ⇒ sinv.sin(u(x)) + cosv.cos(u(x)) =

⇔ cos(u(x) - v) =

Đây là phương trình lượng giác cơ bản đối với hàm cos.

Các bạn chọn cách đặt hợp lý để đưa về công thức mà các bạn nhớ để thuận tiện cho việc giải.

3. Các dạng toán thường gặp về phương trình bậc nhất đối với sin và cos

3.1. Dạng toán 1: Giải các phương trình bậc nhất đối với sin và cos

Áp dụng phương pháp giải nêu ở trên.

Câu 1: Giải các phương trình sau:

a) 2sin3x + 2cos3x =    

b) sin8x - cos5x = sin5x - cos8x

c) 4sin7x - 3cos7x = 5  

d) 3sin6x - 6cos6x = 8

3.2. Dạng 2: Biện luận m để phương trình bậc nhất đối với sin và cos có nghiệm, vô nghiệm

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Ta xác định các hệ số a, b là các hệ số đứng trước hàm sin và cos, hệ số c là hệ số tự do.

+ Bước 2: 

- Để phương trình bậc nhất đối với sin và cos vô nghiệm khi và chỉ khi a² + b² < c²

- Để phương trình bậc nhất đối với sin và cos có nghiệm khi và chỉ khi a² + b² ≥ c²

+ Bước 3: Giải bất phương trình tìm m và kết luận.

Câu 2: Tìm điều kiện của m để phương trình 2msin2022x - cosx2022x =  có nghiệm:

A. -1 ≤ m ≤ 1

B. m ≤ -1 hoặc m ≥ 1

C. -1 < m < 1

D. m < -1 hoặc m > 1

Câu 3: Phương trình msin2010x + cos2010x = m - 2 có nghiệm khi và chỉ khi

A. m ∈ [;+∞)

B. m ∈ [;+∞)

C. m ∈ (-∞; ]

D. m ∈ (-∞; ]

Câu 4: Phương trình asin20x + bcos20x = c có nghiệm khi và chỉ khi

A. a² + b² < c²

B. a + b ≥ c

C. a + b ≤ c

D. a² + b² ≥ c²

Câu 5: Tìm điều kiện của m để phương trình -msin9x + 5cos9x = m + 1 vô nghiệm

A. m < 12

B. m ≤ 12

C. m > 12

D. m ≥ 12

3.3. Dạng toán 3: Tìm các nghiệm của phương trình bậc nhất đối với sin và cos thoả mãn điều kiện cho trước

Bài toán 1: Cho các khoảng (a;b), đoạn [a;b], nửa khoảng (a;b], tìm số nghiệm thuộc khoảng đó.

* Phương pháp giải:

• Bước 1: Tìm các nghiệm x của phương trình bậc nhất đối với sin và cos, các bước như ở mục II.
• Bước 2: Với từng nghiệm x vừa tìm được, ta xét các x trong các khoảng đề bài cho. Giải bất phương trình suy ra k.
• Bước 3: Ta đếm các giá trị nguyên của k. Số các giá trị nguyên k là số nghiệm của phương trình trên thoả mãn yêu cầu bài toán.

Bài toán 2: Đề bài yêu cầu tìm các nghiệm nguyên dương nhỏ nhất và nguyên âm lớn nhất của phương trình.

Câu 6: Gọi m, n lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình , ta có

A. a.b =

B. a.b =

C. a.b =

D. a.b = 0

Câu 7: Phương trình 3sin3x + cos9x = 2cosx + 4sin³3x có số nghiệm trên là

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Bài viết đưa ra các dạng toán thường gặp và có phương pháp, lời giải chi tiết về phương trình bậc nhất đối với sin và cos. VOH Giáo Dục mong các bạn học tập tốt và luôn đồng hành cùng chúng tôi.

Biên soạn và chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang