Tìm hiểu về phương trình cotx = a và cách giải nhanh chóng

Phương trình lượng giác là một nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 11. Bên cạnh các phương trình lượng giác cơ bản: sinx = a, cosx = a, tanx = a đã được đề cập đến ở các bài học trước thì bài viết sau đây sẽ đề cập đến phương trình lượng giác cơ bản còn lại. Đó là phương trình cotx = a. Vậy, công thức nghiệm của phương trình cotx = a là gì? Chúng ta có thể vận dụng công thức nghiệm để giải quyết các bài tập liên quan ra sao? Để hiểu rõ hơn về những vấn đề này, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Công thức nghiệm của phương trình cotx = a

• Phương trình cotx = a xác định khi sinx 0
• Nếu là một nghiệm của trình cotx = a, nghĩa là cot = a thì:

cotx = a x = + k , k Z (đối với số đo góc tính bằng đơn vị rađian)

cotx = a x = + k180⁰, k Z (đối với số đo góc tính bằng độ)

2. Giải phương trình cotx = a

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

1. cot( + ) = 1
2. cot(x + 50⁰) =

Giải

a. Vì cot = 1 nên ta có:

cot( + ) = 1

cot ( + ) = cot

+ = + k

 = k

x = k2 , k Z

b. Vì = cot60⁰ nên ta có:

cot(x + 50⁰) =

cot(x + 50⁰) = cot60⁰

x + 50⁰ = 60⁰ + k180⁰

x = 60⁰ - 50⁰ + k180⁰

x = 10⁰ + k180⁰, k Z

3. Tìm nghiệm của phương trình cotx = a trên khoảng đã cho

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình cot(15⁰ - 2x) = -1 biết 0⁰ < x < 60⁰

Giải

Vì -1 = cot( -45⁰) nên ta có:

cot(15⁰ - 2x) = -1

cot(15⁰ - 2x) = cot(-45⁰)

15⁰ - 2x = -45⁰ + k180⁰

-2x = -45⁰ - 15⁰ + k180⁰

-2x = -60⁰ + k180⁰

x = 30⁰ - k90⁰, k Z

Theo đề bài, 0⁰ < x < 60⁰ nên ta có:

0⁰ < 30⁰ - k90⁰ < 60⁰

-30⁰ < -k90⁰ < 30⁰

0,33 > k > -0,33

-0,33 < k < 0,33

Vì k Z nên suy ra k = 0

Khi đó, x = 30⁰

4. Bài tập áp dụng phương trình cotx = a

Bài 1: Phương trình cot(2x + ) = tanx có nghiệm là:

1. + k3 , k Z
2. + k , k Z
3. + k3 , k Z
4. + k , k Z

Bài 2: Số nghiệm của phương trình cotx - 1 = 0 khi < x < 0 là:

1. Một nghiệm
2. Hai nghiệm
3. Vô nghiệm
4. Vô số nghiệm

Bài 3: Biết cot = 5, khi đó phương trình cot( - 20⁰) = 5 có nghiệm là:

1. x = 7 + 140⁰ + k1260⁰, k Z
2. x = 7 - 140⁰ + k1260⁰, k Z
3. x = 7 + 120⁰ + k1260⁰, k Z
4. x = 7 - 120⁰ + k1260⁰, k Z

Bài 4: Cho các phương trình:  cot(30⁰ - x) = 1          (1);  cot(30⁰ - x) = -1         (2)

và các phát biểu sau đây:

(1) Khi -90⁰ < x < 90⁰, phương trình (1) có nghiệm x = -15⁰ và phương trình (2) có nghiệm x = 70⁰

(2) Khi -90⁰ < x < 90⁰, phương trình (2) có nghiệm x = 75⁰ và phương trình (1) có nghiệm x = -15⁰

(3) Phương trình (1) có hai nghiệm khi -90⁰ < x < 90⁰

(4) Phương trình (2) có hai nghiệm khi -90⁰ < x < 90⁰

Trong các phát biểu nêu trên, phát biểu sai là:

1. (2), (3), (4)
2. (1), (2), (4)
3. (1), (3), (4)
4. (1), (2), (3)

Bài 5: Nghiệm của phương trình:  cot(x + ) = là:

1. x = + k , k Z
2. x = + k , k Z
3. x = + k2 , k Z
4. x = + k2 , k Z

Trên đây là phần tóm tắt công thức nghiệm của phương trình cotx = a và một số bài tập liên quan. Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể ghi nhớ công thức nghiệm của phương trình cotx = a, vận dụng vào giải quyết nhiều bài tập liên quan hơn nữa. Đồng thời ôn tập, củng cố kiến thức để chuẩn bị thật tốt cho các kì thi sắp tới.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang