Bài 1: Hàm Số y = ax^2 (a ≠ 0)

I. Hai ví dụ mở đầu

Xét ví dụ 1. Viết công thức tính diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng là x và chiều dài bằng ba lần chiều rộng.

Áp dụng tính diện tích của hình chữ nhật khi chiều rộng là 1;2;3;4.

Giải:

- Viết công thức:

Gọi y là diện tích của hình chữ nhật (y>0)

Gọi x là chiều rộng của hình chữ nhật (x>0)

Chiều dài của hình chữ nhật là 3x.

Khi đó ta có diện tích hình chữ nhật được tính theo công thức  

- Áp dụng: Diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng là 1; 2; 3; 4 được thể hiện trong bảng sau:
 

Xét ví dụ 2. Nhà Toán học Galilei là người phát hiện ra quãng đường đi được của một vật được thả tự do từ trên cao xuống đất tỉ lệ thuận với bình phương của thời gian. Quan hệ giữa quãng đường đi được S (mét) và thời gian di chuyển t (giây) được biểu diễn bởi công thức . Theo công thức này, mỗi giá trị của t xác định được duy nhất một giá trị tương ứng của S. Chẳng hạn bảng giá trị sau đây biểu thị vài cặp giá trị tương ứng của t và S. 

Các công thức ,   biểu thị một hàm số có dạng  

Sau đây ta sẽ xét tính chất của hàm số như thế.

II. Tính chất của hàm số  

Xét hai hàm số sau: y = 2x²  và  y = -2x²

* Tính giá trị tương ứng của các hàm số trên ứng với giá trị của x bằng .

* Đối với từng hàm số em hãy nhận xét:

Khi x tăng nhưng luôn âm thì giá trị tương ứng của y tăng hay giảm.

Khi x tăng nhưng luôn dương thì giá trị tương ứng của y tăng hay giảm.

* Đối với từng hàm số giá trị của y dương hay âm? 

Giải:

* Giá trị tương ứng của hai hàm số được thể hiện ở hai bảng giá trị sau:
 
 
*  Nhận xét: 

- Đối với hàm số : 

Khi x tăng nhưng luôn âm thì giá trị tương ứng của y giảm.

Khi x tăng nhưng luôn dương thì giá trị tương ứng của y tăng.

- Đối với hàm số : 

Khi x tăng nhưng luôn âm thì giá trị tương ứng của y tăng.

Khi x tăng nhưng luôn dương thì giá trị tương ứng của y giảm.

* Khi  thì giá trị của y đối với hàm số   luôn dương và đối với hàm số   thì giá trị của y luôn âm.

Tổng quát: Hàm số   xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau đây:

1. Nếu a>0 thì hàm số  nghịch biến khi x<0 và đồng biến khi x>0 .
2. Nếu a<0 thì hàm số  đồng biến khi  x<0 và nghịch biến khi x>0 .
3. Nếu a>0 thì  y>0 với mọi   ; y=0 khi x=0 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là  y=0
4. Nếu a<0 thì  y<0 với mọi  ; y=0 khi x=0 và giá trị lớn nhất của hàm số là  y=0

III. Bài tập luyện tập Hàm Số y = ax^2 (a ≠ 0) của trường Nguyễn Khuyến

Dạng 1: Tính giá trị của hàm số tại một điểm cho trước

Phương pháp giải: Giá trị của hàm số  tại điểm x=x₀  là  

1. Cho hàm số  ( m là tham số)

a) Tìm các giá trị của hàm số khi x nhận các giá trị lần lượt là -2;0 và  

b) Tìm các giá trị của a biết  

c) Tìm điều kiện của b, biết rằng  

2. Một vật rơi ở độ cao so với mặt đất là 100m . Quãng đường chuyển động S của vật roi phụ thuộc vào thời gian được cho bởi công thức: S=4t²

a) Hỏi sau các khoảng thời gian lần lượt là 3 giây và 5 giây vật cách mặt đất bao nhiêu met?

b) Sau thời gian bao lâu thì vật tiếp đất?

Dạng 2. Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số

Phương pháp giải: Xét hàm số . Ta có: 
a) Nếu a>0  thì hàm số  nghịch biến khi x<0 và đồng biến khi x>0 . 
b) Nếu a<0  thì hàm số  đồng biến khi x<0  và nghịch biến khi x>0 . 

3. Cho hàm số   với . Tìm các giá trị của tham số  m để hàm số: 

a) Đồng biến với mọi x<0 . 

b) Đạt giá trị nhỏ nhất là 0 . 

4. Cho hàm số   

a) Chứng minh rằng với mọi tham số m , hàm số luôn nghịch biến với mọi x>0  và đồng biến với mọi x<0 . 

b) Tìm các giá trị của tham số m  để khi  hoặc   thì . 

Biên soạn: Mai Văn Tuấn  (Trường TH - THCS - THPT Lê Thánh Tông)