Hàm số y=ax^2: Định nghĩa, tính chất và cách biểu diễn đồ thị

Hàm số y = ax² hay còn gọi là hàm số bậc hai là một điểm kiến thức cơ bản và quan trọng trong vô số kiến thức về hàm số. Vậy hàm số y = ax² là gì, các tính chất của hàm số đó ra sao và đồ thị của hàm số đó có dạng như thế nào. Hãy cùng tìm hiểu trong bài viết sao đây nhé!

1. Định nghĩa hàm số y=ax^2

Hàm số y = ax², là một dạng của hàm số bậc hai, là hàm số có dạng như sau:

Một số ví dụ về hàm số y = ax².

Ví dụ 1: là hàm số bậc hai với a = 2

Ví dụ 2: là hàm số bậc hai với a = -1

Ví dụ 3: là hàm số bậc hai với a = 3

Nhận xét: 

- Khi a > 0, y > 0 với mọi x khác 0. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0, y = 0.

- Khi a < 0, y < 0 với mọi x khác 0. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 0, y = 0.

2. Tính chất của hàm số y=ax^2

- Khi a>0, x>0, hàm số đồng biến (khi x tăng, giá trị của hàm số y luôn tăng).

- Khi a>0, x<0, hàm số nghịch biến (khi x tăng, giá trị của hàm số y luôn giảm).

- Khi a<0, x>0, hàm số nghịch biến (khi x tăng, giá trị của hàm số y luôn giảm).

- Khi a<0, x<0, hàm số đồng biến (khi x tăng, giá trị của hàm số y luôn tăng).

Cùng tìm hiểu về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = ax2 thông qua các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho hàm số 

Ta có a = 5 > 0.

Khi x>0, ta có bảng giá trị sau:

Nhận xét: Khi x tăng thì giá trị của hàm số là y cũng tăng theo, vậy ta nói khi x>0, hàm số này đồng biến.

Khi x<0, ta có bảng giá trị sau:

Nhận xét: Khi x tăng thì giá trị của hàm số y lại giảm dần, vậy ta nói khi x<0, hàm số này nghịch biến.

Ví dụ 2: Cho hàm số

Ta có a = -2 < 0.

Khi x>0, ta có bảng giá trị sau:

Nhận xét: Khi x tăng thì giá trị của hàm số là y lại giảm dần, vậy ta nói khi x>0, hàm số này nghịch biến.

Khi x<0, ta có bảng giá trị sau:

Nhận xét: Khi x tăng thì giá trị của hàm số y cũng tăng, vậy ta nói khi x<0, hàm số này đồng biến.

Ví dụ 3: Cho hàm số

Ta có a = 3 > 0.

Khi x>0, ta có bảng giá trị sau:

Nhận xét: Khi x tăng thì giá trị của hàm số là y cũng tăng theo, vậy ta nói khi x>0, hàm số này đồng biến.

Khi x<0, ta có bảng giá trị sau:

Nhận xét: Khi x tăng thì giá trị của hàm số y lại giảm dần, vậy ta nói khi x<0, hàm số này nghịch biến.

Ví dụ 4: Cho hàm số

Ta có a = -1 < 0.

Khi x>0, ta có bảng giá trị sau:

Nhận xét: Khi x tăng thì giá trị của hàm số là y lại giảm dần, vậy ta nói khi x>0, hàm số này nghịch biến.

Khi x<0, ta có bảng giá trị sau:

Nhận xét: Khi x tăng thì giá trị của hàm số y cũng tăng, vậy ta nói khi x<0, hàm số này đồng biến.

3. Đồ thị của hàm số y=ax^2

Hàm số y = ax² có đồ thị là một đường parabol đi qua gốc tọa độ O, nhận trục tung Oy là trục đối xứng.

Nhận xét:

- Khi a > 0, đồ thị nằm trên trục hoành Ox.

- Khi a < 0, đồ thị nằm dưới trục hoành Ox.

Một số ví dụ về đồ thị của hàm số y = ax².

Ví dụ 1: Hàm số có đồ thị như hình dưới đây

Ví dụ 2: Hàm số có đồ thị như hình dưới đây

Ví dụ 3: Hàm số có đồ thị như hình dưới đây

Ví dụ 4: Hàm số có đồ thị như hình dưới đây

4. Cách vẽ đồ thị hàm số y=ax^2

• Bước 1: Tính giá trị hàm số tại một số điểm (thường chọn những điểm đối nhau qua số 0)
• Bước 2: Chấm những điểm vừa tìm được lên mặt phẳng tọa độ
• Bước 3: Nối những điểm vừa chấm theo đường cong parapol

Chúng ta cùng xem các ví dụ dưới đây để học cách vẽ đồ thị hàm số y = ax².

• Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số

Bước 1: Tính giá trị hàm số tại các điểm x = -2, -1, 0, 1, 2

Bước 2: Chấm những điểm vừa tìm được lên mặt phẳng tọa độ

Bước 3: Nối những điểm vừa chấm theo đường cong parapol.

• Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số

Bước 1: Tính giá trị hàm số tại các điểm x = -2, -1, 0, 1, 2

Bước 2: Chấm những điểm vừa tìm được lên mặt phẳng tọa độ

Bước 3: Nối những điểm vừa chấm theo đường cong parapol

• Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số

Bước 1: Tính giá trị hàm số tại các điểm x = -2, -1, 0, 1, 2

Bước 2: Chấm những điểm vừa tìm được lên mặt phẳng tọa độ

Bước 3: Nối những điểm vừa chấm theo đường cong parapol

5. Bài tập áp dụng hàm số y=ax^2

Bài 1: Giả sử đoạn đường từ nhà đến trường của một bạn học sinh được biểu diễn theo hàm số (m). Trong đó:

a là gia tốc (), t là thời gian (s).

Biết rằng trong vòng 900 giây, bạn học sinh đạp xe được 4km. Hỏi trong vòng 20 phút, bạn học sinh có đến được trường không? Biết từ nhà đến trường dài 6km.

Bài 2: Vẽ đồ thị của các hàm số sau

a.

b.

Bài 3: Tìm giao điểm của hai đồ thị ở bài 2 mà không sử dụng hình vẽ

Bài 4: Cho đồ thị hàm số bậc 2 như hình bên. Hãy:

a. Tìm hệ số a của đồ thị

b. Điểm A(-6;-12) có thuộc đồ thị hay không

Bài 5: Cho đồ thị hàm số y = ax² như hình bên. Hãy:

a. Tìm hệ số a của đồ thị

b. Cho điểm B(5,b) thuộc đồ thị, tìm b

Vậy là ta vừa tìm hiểu xong về hàm số y = ax² cũng như các định nghĩa, tính chất và đồ thị của nó. Hy vọng những kiến thức cung cấp trong bài viết sẽ giúp các bạn học tốt các bài học tiếp theo!

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang