Phương trình trùng phương là gì? Cách giải phương trình trùng phương

  a) x⁴ - 4x² + 3 = 0

Đặt  t = x² ( t   0 ) ta được phương trình bậc hai :

t² - 4t + 3 = 0

Ta có:  = b² - 4ac = (-4)² - 4.1.3 = 4 > 0

suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

t₁ =  = 3 ( thỏa mãn)

t₂ =  = 1 ( thỏa mãn)

Với t = t₁ = 3  x² = 3  x =  hoặc x = -  

Với t = t₂ = 1  x² = 1  x = 1 hoặc x = - 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  .

b) -2x⁴ - 7x² + 9 = 0

Đặt  t = x² ( t   0 ) ta được phương trình bậc hai :

-2t² - 7t + 9 = 0

Ta có:  = b² - 4ac = (-7)² - 4.(-2).9 = 121 > 0

suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

t₁ =  ( không thỏa mãn)

t₂ =  = 1 ( thỏa mãn)

Với t = t₂ = 1  x² = 1  x = 1 hoặc x = - 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  

c) x⁴ + 6x² + 9 = 0

Đặt  t = x² ( t   0 ) ta được phương trình bậc hai :

t² + 6t + 9 = 0

Ta có:  = b² - 4ac = 6² - 4.1.9 = 0

Suy ra phương trình có nghiệm kép:

t₁ = t₂ =  = -3 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

 a) (x + 1)⁴ + 2(x + 1)² - 3 = 0

Đặt  t = (x + 1)² ( t   0 ) ta được phương trình bậc hai :

t² + 2t - 3 = 0

Ta có:  = b² - 4ac = 2² - 4.1.(-3) = 16 > 0

suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

t₁ =  = 1 ( thỏa mãn)

t₂ =   = -3 ( không thỏa mãn)

Với t = t₁ = 1  (x + 1)² = 1  x + 1 = 1 hoặc x + 1 = - 1  x = 0 hoặc x = -2

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  

b) (x - 1)⁴ + (x - 1)² - 20 = 0

Đặt  t = (x - 1)² ( t   0 ) ta được phương trình bậc hai :

t² + t - 20 = 0

Ta có:  = b² - 4ac = 1² - 4.1.(-20) = 81 > 0

suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

t₁ =  = 4 ( thỏa mãn)

t₂ =  = -5 ( không thoả mãn)

Với t = t₁ = 4   (x - 1)² = 4  x - 1 = 2 hoặc x - 1 = - 2  x = 3 hoặc x = -1

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  

Đặt  t = x² ( t   0 ) ta được phương trình bậc hai :

t² - (2m + 1) t - m = 0 (2)

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương.

• Trường hợp 1: Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu

Khi đó: a . c < 0  1. (-m) < 0  -m < 0  m > 0

• Trường hợp 2: Phương trình (2) có nghiệm kép dương

Khi đó:  = b² - 4ac = [-(2m + 1)]²- 4.1.(-m) = 4m² + 4m + 1 + 4m² = 8m² + 4m + 1 = 0

Phương trình vô nghiệm 

Vậy m > 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Đặt t = x² ( t   0 ), khi đó phương trình (1) trở thành:  t² – 2(m + 4)t + m² = 0 (2) 

Để phương trình (1) có 1 nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm kép t = 0 hoặc có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0

Vì t = 0 là nghiệm của phương trình (2) nên thay t = 0 vào (2) ta được:

m² = 0 ⇔ m = 0

Với m = 0 thì phương trình (2) có dạng:  

t² - 8t = 0  t = 0 hoặc t = 8

Suy ra m = 0 không thỏa mãn

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có 1 nghiệm.

Nếu m + 1 = 0  m = -1

Khi đó, phương trình (1) có dạng:

-6x² + 1 = 0  x² =   x =  hoặc x = -  

Do đó m = -1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Nếu m + 1  0   m -1

Đặt t = x² ( t   0 ), khi đó phương trình (1) trở thành:  (m +1)t² + 2(m - 2)t + m + 2 = 0 (2) 

Để phương trình (1) vô nghiệm thì phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm.

Trường hợp 1: Phương trình (2) vô nghiệm

Khi đó:  ' = b'² - ac = (m - 2)² - ( m + 1). ( m + 2) = m² - 4m + 4 - m² - 3m - 2 = -7m + 2 < 0

 m >  

Trường hợp 2: Phương trình (2) có hai nghiệm âm

Khi đó:  

    m < -2.

Vậy m < -2 thì phương trình (1) vô nghiệm.