Hệ thức Viet và ứng dụng cách giải các phương trình đại số phức tạp

Hệ thức Viet cung cấp một phương pháp đơn giản và hiệu quả để tính toán các nghiệm của phương trình, dựa trên quan hệ giữa các hệ số và các nghiệm của phương trình đó. Với hệ thức Viet, chúng ta có thể giải quyết nhanh chóng và chính xác các bài toán đại số phức tạp. Trong bài học hôm nay, chúng ta lại tiếp tục tìm hiểu một kiến thức liên quan đến phương trình bậc hai: Hệ thức Viet.

1. Hệ thức Viet là gì ?

1.1. Định lý Viet thuận

Ta có , là hai nghiệm của phương trình bậc hai

Khi đó, ta được

Lưu ý: Hệ thức Viet áp dụng được với cả phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt và phương trình bậc hai có nghiệm kép.

Hệ thức Viet dùng để tính tổng và tích của hai nghiệm của một phương trình bậc hai một ẩn cho trước.

Chúng ta cùng xem một số ví dụ áp dụng hệ thức Viet dưới đây.

Ví dụ 1: Cho phương trình bậc hai như sau 

Giải

Ta có các hệ số a, b, c:

a = 1

b = 2

c = 1

Tổng hai nghiệm của phương trình là 

Tích hai nghiệm của phương trình là

Ví dụ 2: Cho phương trình bậc hai như sau

Giải

Ta có các hệ số a, b, c:

a = 2

b = 3

c = 1

Tổng hai nghiệm của phương trình là

Tích hai nghiệm của phương trình là

Ví dụ 3: Cho phương trình bậc hai như sau

Giải

Ta có các hệ số a, b, c:

a = -1

b = 5

c = 2

Tổng hai nghiệm của phương trình là

Tích hai nghiệm của phương trình là

Ví dụ 4: Cho phương trình bậc hai như sau

Giải

Ta có các hệ số a, b, c:

a = -3

b = 1

c = 2

Tổng hai nghiệm của phương trình là

Tích hai nghiệm của phương trình là

Ví dụ 5: Cho phương trình bậc hai như sau

Giải

Ta có các hệ số a, b, c:

a = 1

b = -2

c = -4

Tổng hai nghiệm của phương trình là

Tích hai nghiệm của phương trình là

1.2. Hệ quả của định lý Viet

Xét phương trình bậc hai:

- Nếu a+b+c=0 thì phương trình có nghiệm: x = 1 và x =

- Nếu a-b+c=0 thì phương trình có nghiệm: x = -1 và x =

1.3. Định lý Viet đảo

Cho hai số a và b. Đặt tổng của a và b là S, tích của a và b là P. Khi đó, a và b là hai nghiệm của phương trình bậc hai:

Với điều kiện:

Chúng ta cùng xem một số ví dụ sau về ứng dụng của định lý Vi ét.

2. Ứng dụng của hệ thức Viet

2.1. Tìm hai số khi biết tổng và tích

Ví dụ 1: Tìm hai số a, b, biết tổng của chúng bằng 9 và tích của chúng bằng 8.

Giải

Ta có, a và b là hai nghiệm của phương trình

với S = 9, P = 8

Vậy ta được phương trình như sau

Điều kiện:

Giải phương trình trên ta được

Vậy a = 8, b = 1 

Ví dụ 2: Tìm hai số a, b, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 2.

Giải

Ta có, a và b là hai nghiệm của phương trình

với S = 3, P = 2

Vậy ta được phương trình như sau

Điều kiện:

Giải phương trình trên ta được

Vậy a = 2, b = 1 

Ví dụ 3: Tìm hai số a, b, biết tổng của chúng bằng 4 và tích của chúng bằng -5.

Giải

Ta có, a và b là hai nghiệm của phương trình

với S = 4, P = -5

Vậy ta được phương trình như sau

Điều kiện:

Giải phương trình trên ta được

Vậy a = 5, b = -1

Ví dụ 4: Tìm hai số a, b, biết tổng của chúng bằng -9 và tích của chúng bằng 20.

Giải

Ta có, a và b là hai nghiệm của phương trình

với S = -9, P = 20

Vậy ta được phương trình như sau

Điều kiện:

Giải phương trình trên ta được

Vậy a = -4, b = -5 

Ví dụ 5: Tìm hai số a, b, biết tổng của chúng bằng -5 và tích của chúng bằng 6.

Giải

Ta có, a và b là hai nghiệm của phương trình

với S = -5, P = 6

Vậy ta được phương trình như sau

Điều kiện:

Giải phương trình trên ta được

Vậy a = -2, b = -3 

Ví dụ 6: Tìm hai số a, b, biết tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng bằng 24.

Giải

Ta có, a và b là hai nghiệm của phương trình

với S = 10, P = 24

Vậy ta được phương trình như sau

Điều kiện:

Giải phương trình trên ta được

Vậy a = 6, b = 4

2.2. Tính giá trị của biểu thức đối xứng

Một số biến đổi tham khảo:

Ví dụ 7: Cho phương trình có hai nghiệm phân biệt , hãy tính:

Ta biến đổi biểu thức A như sau:

Thay số vào, ta được:

Vậy giá trị của biểu thức là:

Ví dụ 8: Cho phương trình có hai nghiệm phân biệt , hãy tính:

Ta biến đổi biểu thức B như sau:

Thay số vào, ta được:

Vậy giá trị của biểu thức là:

Ứng dụng của định lý Vi ét trong các bài toán chứa tham số:

- Nếu P < 0, phương trình có hai nghiệm trái dấu.

- Nếu , phương trình có hai nghiệm cùng dấu.

- Nếu , phương trình có hai nghiệm dương.

- Nếu , phương trình có hai nghiệm âm.

Ví dụ 9: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm cùng dấu:

Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi: . Ta có:

Ví dụ 10: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương:

Phương trình có hai nghiệm dương khi:

3. Bài tập về hệ thức Viet

Bài 1: Áp dụng hệ thức Viet để tìm tổng và tích hai nghiệm của các phương trình sau

a.

b.

c.

Bài 2: Tìm hai số a và b, biết tổng của chúng bằng 30, tích của chúng bằng 9

Bài 3: Cho phương trình có hai nghiệm phân biệt . Hãy tính giá trị các biểu thức sau:

a.

b.

Bài 4: Cho phương trình: . Tìm m để:

a. Phương trình có hai nghiệm trái dấu

b. Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương

Bài 5: Một lớp học có tổng số học sinh là 45. Hãy cho biết số học sinh nam, số học sinh nữ của lớp này, biết rằng tích giữa số học sinh nam và nữ là 506 và số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam

Vậy là chúng ta vừa tìm hiểu xong về hệ thức Viet, đây là kiến thức rất quan trọng trong các bài toán về phương trình bậc hai, các bạn học sinh cần nắm kỹ phần này. Chúc các bạn học tốt!

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang