Giải phương trình bậc hai một ẩn: Phương pháp và ví dụ thực tế

Trong bài học hôm nay, chúng ta sẽ được học về một phương trình mới: Phương trình bậc hai một ẩn. Vậy phương trình bậc hai một ẩn là phương trình như thế nào? Làm sao để giải phương trình bậc hai một ẩn? Cùng tìm hiểu câu trả lời trong bài học hôm nay nhé!

1. Phương trình bậc hai một ẩn là gì?

Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng như sau

với x là ẩn, a, b, c là những số cho trước (được gọi là các hệ số).

Chúng ta cùng xem một số ví dụ về phương trình bậc hai một ẩn.

Ví dụ 1:

là phương trình bậc hai một ẩn với các hệ số:

a = 1

b = 2

c =1

Ví dụ 2:

là phương trình bậc hai một ẩn với các hệ số:

a = -1

b = -2

c = 1

Ví dụ 3:

là phương trình bậc hai một ẩn với các hệ số:

a = 2

b = -1

c = 4

Ví dụ 4:

là phương trình bậc hai một ẩn với các hệ số:

a = -2

b = -2

c = 2

Ví dụ 5:

là phương trình bậc hai một ẩn với các hệ số:

a = 1

b = 1

c = 0

Ví dụ 6:

là phương trình bậc hai một ẩn với các hệ số:

a = -3

b = 0

c = 1

Ví dụ 7: 

không là phương trình bậc hai một ẩn vì hệ số a = 0.

2. Giải phương trình bậc hai một ẩn bằng các cách biến đổi

Đối với những phương trình bậc hai đơn giản, ta có thể dùng các cách biến đổi để giải trực tiếp. Chúng ta xem một số ví dụ dưới đây về giải phương trình bậc hai một ẩn bằng các cách biến đổi.

Ví dụ 1:

Đặt nhân tử chung x ra ngoài, ta được:

Lúc này phương trình trở thành phương trình tích, giải như sau:

Vậy nghiệm của phương trình là x=0 và x=-1.

Ví dụ 2:

Chuyển vế đổi dấu ta được:

Lấy căn bậc hai hai vế:

Vậy nghiệm của phương trình là và

Ví dụ 3: 

Lấy căn bậc hai hai vế, ta được:

Tiếp tục giải phương trình như sau:

Vậy nghiệm của phương trình là và

Ví dụ 4:

Ta biến đổi biểu thức vế trái như sau:

Ta thấy biểu thức vế trái có dạng hằng đẳng thức thứ hai:

Vậy nghiệm của phương trình là x=2.

Ví dụ 5:

Đặt nhân tử chung x ra ngoài, ta được:

Lúc này phương trình trở thành phương trình tích, giải như sau:

Vậy nghiệm của phương trình là và .

Ví dụ 6:

Chuyển vế đổi dấu ta được:

Lấy căn bậc hai hai vế:

Vậy nghiệm của phương trình là x=1 và x=-1.

Ví dụ 7:

Lấy căn bậc hai hai vế, ta được:

Tiếp tục giải phương trình như sau:

Vậy nghiệm của phương trình là và

Ví dụ 8:

Ta biến đổi biểu thức vế trái như sau:

Ta thấy biểu thức vế trái có dạng hằng đẳng thức thứ hai:

Vậy nghiệm của phương trình là

3. Giải phương trình bậc hai một ẩn bằng công thức nghiệm

Ta có phương trình bậc hai như sau

Biệt thức Delta ký hiệu là , được tính bằng công thức:

Các trường hợp nghiệm của phương trình:

- Delta bé hơn 0, phương trình vô nghiệm

- Delta bằng 0, phương trình có nghiệm kép

- Delta lớn hơn 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt

Một số ví dụ áp dụng giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm.

Ví dụ 1:

Xác định các hệ số a, b, c:

a = 1

b = 2

c = 9

Sau đó, ta tính biệt thức Delta

Delta bé hơn 0 vậy phương trình trên vô nghiệm.

Ví dụ 2:

Xác định các hệ số a, b, c:

a = 1

b = -3

c = 2

Sau đó, ta tính biệt thức Delta

Delta lớn hơn 0 vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy nghiệm của phương trình là x=2 và x=1

Ví dụ 3:

Xác định các hệ số a, b, c:

a = 1

b = -4

c = 4

Sau đó, ta tính biệt thức Delta

Delta bằng 0 vậy phương trình có nghiệm kép:

Vậy nghiệm của phương trình là x=2

Ví dụ 4:

Xác định các hệ số a, b, c:

a = -1

b = 6

c = 2

Sau đó, ta tính biệt thức Delta

Delta lớn hơn 0 vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy nghiệm của phương trình là và

Ví dụ 5:

Xác định các hệ số a, b, c:

a = 9

b = 24

c = 16

Sau đó, ta tính biệt thức Delta

Delta bằng 0 vậy phương trình có nghiệm kép:

Vậy nghiệm của phương trình là  

4. Bài tập về giải phương trình bậc hai một ẩn

Bài 1: Các phương trình dưới đây có phải là phương trình bậc hai một ẩn không? Hãy xác định các hệ số của phương trình

a.

b.

c.

d.

Bài 2: Đưa các phương trình sau về dạng phương trình bậc hai một ẩn. Xác định các hệ số của phương trình

a.

b.

c.

d.

Bài 3: Giải các phương trình bậc hai dưới đây bằng các cách biến đổi

a.

b.

c.

Bài 4: Giải các phương trình bậc hai dưới đây bằng công thức nghiệm

a.

b.

c.

d.

Bài 5: Giải các phương trình bậc hai dưới đây bằng hai cách (biến đổi và công thức nghiệm)

a.

b.

Vậy là chúng ta đã hiểu được về một số khía cạnh của phương trình bậc hai một ẩn: cách viết phương trình, xác định hệ số, giải phương trình bằng nhiều cách khác nhau. Hy vọng với những kiến thức vừa học được, các bạn học sinh sẽ có thể học tốt các bài học tiếp theo!

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang