Table of Contents
Trong Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể mới (2018), bài toán khi nào thì AM + MB = AB? đã được đưa thành bài toán tìm tòi - mở rộng nhằm giúp học sinh phát triển khả năng tư duy của bản thân cũng như kỹ năng lập luận logic. Vậy khi nào thì AM + MB = AB? và tính chất này áp dụng vào những dạng bài tập nào. Mời các em cùng VOH Giáo Dục nghiên cứu bài học dưới đây.
Trong bài học này, chúng ta sẽ đi tìm hiểu điều kiện để AM + MB = AB? và ngược lại, nếu AM + MB = AB thì ta có thể suy ra được những kết luận gì? Nếu AM + MB ≠ AB thì sao?
1. Kiến thức cơ bản liên quan bài toán "khi nào thì AM + MB = AB"
Với ba điểm A, B, M ta lập được ba đoạn thẳng AM, MB, AB trong đó luôn có MA + MB ≥ AB.
Thật vậy,
Trường hợp 1. Nếu M nằm giữa hai điểm A và B (nghĩa là M thuộc đoạn thẳng AB) thì AM + MB = AB. Ngược lại, nếu AM + MB = AB thì M nằm giữa hai điểm A và B.
Vậy ứng dụng của tính chất này được miêu tả trong sơ đồ dưới đây:
Trường hợp 2. Nếu M không nằm giữa hai điểm A và B (nghĩa là M không thuộc đoạn thẳng AB) thì MA + MB > AB. Ngược lại, nếu MA + MB > AB thì điểm M không nằm giữa hai điểm A và B.
Vậy ứng dụng của tính chất này được miêu tả trong sơ đồ dưới đây:
» Xem thêm: Đường thẳng là gì? Đoạn thẳng là gì? Mối quan hệ giữa điểm, đường thẳng, đoạn thẳng
2. Một số dạng bài tập chứng minh khi nào thì AM + MB = AB ?
2.1. Dạng 1. Chứng minh 1 điểm nằm giữa 2 điểm khác
∗ Phương pháp giải:
Để chứng minh một điểm nằm giữa hai điểm khác, ta thường làm theo 2 cách sau:
- Cách 1. Sử dụng tính chất “Nếu AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B”.
- Cách 2. Sử dụng tính chất “Nếu MA và MB là hai tia đối nhau thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B”.
Bài 1. Cho ba điểm X, Y, Z thẳng hàng. Hỏi trong ba điểm đã cho, điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
a) XY + YZ = XZ
b) XZ + YZ = XY
c) XY + ZX = YZ
ĐÁP ÁN
Gợi ý cách nhận biết điểm nằm giữa: Trong phép cộng 2 đoạn thẳng, điểm nào xuất hiện 2 lần thì điểm đó chính là điểm nằm giữa.
a) Điểm Y nằm giữa X và Z.
b) Điểm Z nằm giữa X và Y.
c) Điểm X nằm giữa Y và Z.
Bài 2. Cho ba điểm A1, A2, A3 cùng nằm trên một đường thẳng. Hỏi điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại, biết:
a) A1A2 = 8cm, A2A3 = 15cm, A1A3 = 7cm.
b) A1A2 = 18cm, A2A3 = 10cm, A1A3 = 8cm.
c) A1A3 = A2A3 = 5,5cm, A1A2 =11cm.
ĐÁP ÁN
Gợi ý cách làm: Thiết lập hệ thức liên hệ giữa 3 đoạn thẳng dựa vào độ dài của 3 đoạn thẳng theo đề bài. Từ đó, dựa vào hệ thức để nhận biết điểm nằm giữa hai điểm còn lại.
a) Ta có: A1A2 + A1A3 = 8 + 7 = 15cm
A2A3 = 15cm
=> A1A2 + A1A3 = A2A3
=> Điểm A1 nằm giữa hai điểm A2 và A3.
Tương tự: b) Điểm A2 nằm giữa hai điểm còn lại.
c) Điểm A3 nằm giữa hai điểm còn lại.
Bài 3. Cho tia Ot. Lấy điểm M thuộc tia Ot, điểm N thuộc tia đối của tia Ot. Hỏi trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao?
ĐÁP ÁN
Vì điểm M thuộc tia Ot, điểm N thuộc tia đối của tia Ot
=> Tia OM và tia ON là tia đối nhau.
=> Điểm O nằm giữa hai điểm còn lại.
2.2. Dạng 2. Tính độ dài đoạn thẳng
∗ Phương pháp giải:
Để tính độ dài của một đoạn thẳng, ta thường làm như sau:
- Bước 1. Chỉ ra một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.
- Bước 2. Sử dụng tính chất “Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì AM + MB = AB”.
Bài 1. Cho điểm K nằm giữa hai điểm M và Q.
a) Tính độ dài đoạn thẳng KM, biết KQ = 9cm, MQ =21cm.
b) Tính độ dài đoạn thẳng MQ, biết MK = 12,5cm, KQ = 5,9cm.
ĐÁP ÁN
a) Vì K nằm giữa hai điểm M và Q (theo đề bài)
=> MK + KQ = MQ
MK + 9 = 21
MK = 21 – 9 = 12cm
Vậy độ dài đoạn MK = 12cm.
b) Vì K nằm giữa hai điểm M và Q (theo đề bài)
=> MK + KQ = MQ
12,5 + 5,9 = MQ
MQ = 18,4cm
Bài 2. Cho đường thẳng mn. Lấy một điểm A trên đường thẳng mn. Lấy điểm D thuộc tia Am sao cho AD = 5cm. Lấy điểm E thuộc tia An sao cho AE = 8cm.
a) Chứng minh điểm A là điểm nằm giữa D và E.
b) Tính độ dài đoạn DE. Điểm A có phải là trung điểm của DE không? Vì sao?
ĐÁP ÁN
Vì điểm A thuộc đường thẳng mn (đề bài)
=> Tia Am và tia An là hai tia đối nhau.
Vì điểm D thuộc tia Am, điểm E thuộc tia An (đề bài)
=> Tia AD và tia AE là hai tia đối nhau.
=> Điểm A nằm giữa hai điểm D và E.
=> DA + AE = DE
5 + 8 = DE
DE = 13cm
Vậy độ dài đoạn DE = 13cm.
3. Ứng dụng vào bài toán thực tế khi nào thì AM + MB = AB ?
Bài toán khi nào thì AM + MB = AB thuộc hình học phẳng và có ứng dụng rất lớn trong việc tính toán độ dài các đoạn thẳng dựa vào một số đoạn thẳng cho trước. Ngược lại, nếu biết độ dài các đoạn thẳng, ta cũng có thể từ đó suy ra được điểm nào nằm giữa hoặc không nằm giữa hai điểm còn lại.
Bài toán. Bạn Bình đi từ nhà đến trường theo một đường thẳng. Trên đường đến trường, Bình lần lượt đi qua nhà bạn Cường và nhà bạn Long. Khoảng cách từ nhà bạn Bình đến nhà bạn Cường là 300m, khoảng cách từ nhà bạn Cường đến nhà bạn Long là 200m. Khoảng cách từ nhà bạn Bình đến trường là 1200m. Nhà bạn Cường và nhà bạn Long cách trường bao nhiêu mét?
(Ví dụ minh họa phần Tìm tòi – Mở rộng, SGK CD Toán 6, trang 88)
Phân tích. Theo đề bài, ta có:
+) Khoảng cách từ nhà Bình đến trường là 1200m.
+) Nhà Cường và nhà Long đều nằm giữa nhà Bình và trường học.
+) Nhà Cường cách nhà Bình là 300m; Nhà Long cách nhà Cường là 200m.
Hỏi: Khoảng cách từ nhà Cường tới trường và từ nhà Long tới trường?
ĐÁP ÁN
Giải.
Vì nhà bạn Cường nằm giữa nhà bạn Bình và trường học nên khoảng cách từ nhà bạn Cường đến trường là 1200 – 300 = 900 (m).
Vì nhà bạn Long nằm giữa nhà bạn Cường và trường học nên khoảng cách từ nhà bạn Long đến trường là 900 – 200 = 700 (m).
Vậy khoảng cách từ nhà bạn Cường đến trường là 900 (m).
khoảng cách từ nhà bạn Long đến trường là 700 (m).
4. Một số bài tập tự luyện khi nào thì AM + MB = AB ?
Bài 1. Cho ba điểm A1, A2, A3 thẳng hàng. Hỏi điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
a) A1A2 + A2A3 = A1A3
b) A1A3 + A1A2= A2A3 c) A1A3 + A3A2 = A1A2
Bài 2. Cho ba điểm D, E, F cùng nằm trên một đường thẳng. Hỏi điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại, nếu:
a) DE = 5,7cm, EF = 4,3cm, DF = 10cm.
b) DE = 5cm, EF = 4cm, DF = 1cm.
c) DE = 5cm, DF = EF = 2,5cm.
d) EF = 2DE = 2DF.
Bài 3. Cho ba điểm M, N, Q biết MN = 3cm, NP = 4cm, MP = 5cm.
a) Chứng minh trong ba điểm M, N, P không có điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
b) Ba điểm M, N, P có thẳng hàng không? Vì sao?
Bài 4. Cho điểm A thuộc đoạn thẳng MN. Trên tia AM lấy điểm E. Hỏi trong ba điểm E, A, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
Bài 5. Cho đoạn thẳng PQ = 9cm. Điểm K nằm giữa hai điểm P và Q. So sánh hai đoạn thẳng PK và KQ nếu:
a) KQ = 3cm
b) PK = 4.5cm.
Bài toán chứng minh khi nào thì AM + MB = AB trên là dạng bài toán cơ bản và tiền đề để phát triển nhiều bài toán khác ở các lớp trên. Chính vì vậy, nắm vững kiến thức cơ bản là điều rất quan trọng. Bài viết trên là một số kiến thức cơ bản về điểm nằm giữa hai điểm và các dạng bài tập cơ bản. Các em chú ý ôn tập thật kỹ về dạng bài tập này nhé.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang