Biểu thức tọa độ của tích vô hướng & bài tập có hướng dẫn

Tích vô hướng là một nội dung quan trọng xuất hiện trong chương trình môn Toán lớp 10. Bên cạnh việc định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ, chúng ta cần phải nắm được biểu thức tọa độ của tích vô hướng và vận dụng vào giải quyết các bài tập liên quan. Đó cũng chính là nội dung chính của bài viết sau đây

1. Nhắc lại một số nội dung

• Giả sử A ( x_A; y_A ); B ( x_B; y_B ). Khi đó:

= ( x_B - x_A; y_B - y_A )

Ví dụ: Cho A(1; 2); B(2; 1). Khi đó, = ( 2 - 1; 1 - 2) = (1; -1)

• Tích vô hướng của hai vectơ    và    là một số, kí hiệu là   , được xác định bởi công thức

= | |.| |.cos( )

2. Biểu thức tọa độ tích vô hướng

• Cho hai vectơ   = ( a₁; a₂ );   = ( b₁; b₂). Khi đó biểu thức tọa độ tích vô hướng có dạng là

= a₁.b₁ + a₂.b₂

Ví dụ: Cho hai vectơ   = (5; -3); = (1; 2). Khi đó, tích vô hướng của hai vectơ    và    là:

= 5.1 + (-3).2 = 5 + (-6) = -1

• Hai vectơ    và    được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu   , khi và chỉ khi tích vô hướng giữa hai vectơ    và   bằng 0

a₁.b₁ + a₂.b₂ = 0

Ví dụ: Cho hai vectơ   = (1; -3); = (6; 2). Ta có: hai vectơ    và    là hai vectơ vuông góc với nhau vì:

= 1.6 + (-3).2 = 6 + (-6) = 0

Ví dụ: Cho hai vectơ   = (-m; 5); = (2; m + 3). Hỏi để hai vectơ    và    vuông góc với nhau thì giá trị của m là bao nhiêu? 

Giải

(-m).2 + 5.(m + 3) = 0

-2m + 5m + 15 = 0

3m + 15 = 0

3m = -15

m = -5

Vậy, khi m = -5 thì hai vectơ    và    vuông góc với nhau

3. Bài tập biểu thức tọa độ của tích vô hướng

3.1. Áp dụng biểu thức tọa độ tích vô hướng để tìm tích vô hướng của 2 vectơ

Bài 1: Cho hai vectơ   = ( 1; 2 );   = ( 3; -5 ). Khi đó, tích vô hướng của hai vectơ    và    bằng

1. 7
2. -7
3. 13
4. -13

Bài 2: Cho A(1; 1); B(2; 5);   = (4; 3). Hãy cho biết tích vô hướng của hai vectơ    và    bằng

1. 10
2. -10
3. 16
4. -16

Bài 3: Cho    = (-1; 1);    = (2; -3);    = (5; 2). Biết    và   . Khi đó tích vô hướng của hai vectơ    và   bằng

1. 3
2. 2
3. 1
4. 0

Bài 4: Cho M(0; 1); N(3; -1); P(2; 5). Trong các phát biểu sau, phát biểu sai là

1. Tích vô hướng của hai vectơ và là một số
2. Tích vô hướng của hai vectơ và là một số âm
3. Tích vô hướng của hai vectơ và là một số dương
4. Tích vô hướng của hai vectơ và là một số khác 0

3.2. Áp dụng biểu thức tọa độ tích vô hướng vào bài toán 2 vectơ vuông góc

Bài 5: Cho   = (3; m); = (2; -3). Với giá trị nào của m thì    và    là hai vectơ vuông góc với nhau

1. m = -3
2. m = -2
3. m = 2
4. m = 3

Bài 6: Cho C(c; 2); D(1; -1);   = (2; ). Với giá trị nào của c thì hai vectơ và    là hai vectơ vuông góc với nhau

Bài 7: Cho tam giác ABC với  A(a; -3a); B(1; -3); C(5; 2). Với giá trị nào của a thì tam giác  ABC là tam giác vuông tại A?

1. a = 1
2. a =
3. a = 1 và a =
4. Không có giá trị nào của a để tam giác ABC vuông tại A

Bài 8: Cho   = (m² - 1; 2);   = (1; 2m + 3). Số các giá trị của m để hai vectơ    và    vuông góc với nhau là

1. Có một giá trị của m thỏa mãn
2. Có hai giá trị của m thỏa mãn
3. Có vô số các giá trị của m thỏa mãn
4. Không có giá trị nào của m thỏa mãn

Trên đây là một số nội dung kiến thức về biểu thức tọa độ tích vô hướng và các bài tập liên quan. Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể nắm được dạng của biểu thức tọa độ tích vô hướng cũng như vận dụng vào giải quyết các bài toán liên quan khác.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang