Định lý sin là gì? Cách chứng minh định lý sin dùng để làm gì?

Như chúng ta đã biết, một tam giác được xác định hoàn toàn nếu biết các yếu tố như biết hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó, hoặc biết ba cạnh. Qua đó, ta thấy rằng giữa các cạnh và các góc của một tam giác bất kì có một mối liên hệ nào đó và được gọi là các hệ thức lượng trong tam giác. Trong bài viết này, chúng ta sẽ đi tìm hiểu một hệ thức lượng cơ bản trong tam giác bất kì, đó là định lý sin, đồng thời nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức này vào việc đo đạc trong các bài toán thực tế.

1. Định lý sin là gì?

Cho tam giác ABC bất kì  có BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó, ta có hệ thức sau:

.

Hệ thức trên được gọi là định lý sin trong tam giác.

2. Ví dụ về định lý sin trong tam giác

Ví dụ 1. Trong tam giác MNP có NP = 5 cm, và . Hãy tìm số đo góc M, độ dài hai cạnh MN, MP và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.

Lời giải

Theo tính chất tổng 3 góc trong một tam giác ta được = 180^o – (72^o + 30^o) = 78^o.

Áp dụng định lý sin trong tam giác MNP, ta được

  .

Từ đó, ta suy ra

MN = 2,56 (cm).

MP = 4,86 (cm).

R = 2,56 (cm).

Vậy số đo góc M là 78^o, độ dài hai cạnh MN, MP lần lượt là 2,56 cm; 4,86 cm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là 2,56 cm.

3. Ứng dụng của định lý sin vào việc đo đạc

Ví dụ 2. Hãy xác định chiều cao MH của cột ăng ten ở bờ bên kia hồ mà không phải đo trực tiếp. Biết rằng bờ bên này hồ ta lấy hai điểm N, P sao cho 3 điểm H, N, P thẳng hàng. Từ vị trí hai điểm N, P  ta nhìn thấy đỉnh M của cột ăng ten lần lượt dưới góc 55^o, 43^o so với mặt đất và đo được độ dài đoạn thẳng NP bằng 5 mét.

Lời giải

Trong tam giác MNP có

+ = 180^o – 55^o = 125^o

+ = 180^o – (125^o + 43^o) = 12^o.

Áp dụng định lý sin trong tam giác MNP, ta được

.

Từ đó, ta suy ra

MP = 19,7 (m).

Xét tam giác MHP vuông tại H có

MH = MP . sin P = 19,7 . sin 43^o 13,4 (m).

Vậy chiều cao của cột ăng ten ở bờ bên kia hồ là 13,4 mét.

4. Một số bài tập về định lý sin trong tam giác

Bài 1. Cho tam giác MNP bất kì  có NP = m, MP = n, MN = p và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP. Hãy chỉ ra trong các hệ thức được cho dưới đây, hệ thức nào sai?

1. sin P = p.sin M
2. sin N = n.sinM
3. n = R.sinN
4. sin N = n.sin P

Bài 2. Trong tam giác MNP có MN = 8, NP = 10 và . Hãy tìm số đo các góc còn lại, độ dài cạnh MP và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.

Bài 3. Cho tam giác MNP. Biết và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP bằng 2. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP. Hãy tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác MPI.

Bài 4. Cho một ngôi nhà có chiều cao MN = 20 mét và một ống khói cách xa ngôi nhà. Từ vị trí đỉnh M của ngôi nhà ta quan sát thấy đỉnh P của ống khói dưới góc 23^o so với phương nằm ngang, từ vị trí điểm N chân của ngôi nhà ta quan sát thấy đỉnh P của ống khói dưới góc 48^o so với mặt đất. Hãy tính chiều cao PH của ống khói (không phải đo trực tiếp).

Bài 5. Hai chiếc xuồng ba lá đều xuất phát từ vị trí điểm M và chuyển động theo các hướng khác nhau tạo với nhau một góc bằng 70^o. Sau khoảng thời gian kể từ khi hai chiếc xuồng ba lá xuất phát, xuồng ba lá N đi được 35 mét và khoảng cách giữa hai chiếc xuồng ba lá tại thời điểm đó là 40 mét. Hãy tính quãng đường xuồng ba lá P đi được sau khoảng thời gian đó.

Chúng ta đã được tìm hiểu về một hệ thức lượng cơ bản trong tam giác bất kì, đó là định lý sin, đồng thời nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức này vào việc đo đạc trong các bài toán thực tế trong bài viết này. Hy vọng qua đó, các em sẽ ứng dụng tốt phần kiến thức này trong học tập cũng như trong cuộc sống.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang