Cách tính độ dài của vecto đơn giản, chi tiết

Vecto là một nội dung bài học quan trọng, được đề cập nhiều trong chương trình môn Toán lớp 10. Vậy, công thức tính độ dài của vecto là gì? Có thể áp dụng công thức tính độ dài của vecto vào giải quyết các bài tập ra sao? Để có thể trả lời cho những câu hỏi nêu trên, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu nội dung chi tiết của bài viết sau đây.

1. Cách tính độ dài của vecto

1.1. Công thức tính độ dài của vecto khi đã biết tọa độ của vecto

+ Độ dài của vecto   kí hiệu là .

+ Giả sử vecto có tọa độ = (a₁; a₂). Khi đó, công thức tính độ dài của vecto    là:

Ví dụ: Cho vecto = (- 2; 1). Tính độ dài của vecto .

Giải 

Độ dài của vecto là:

1.2. Công thức tính độ dài của vecto khi biết tọa độ điểm đầu và điểm cuối của vecto

+ Giả sử A(x_A; y_A), B(x_B; y_B).

+ Tọa độ của vecto là:

= (x_B - x_A; y_B - y_A)

+ Công thức tính độ dài của vecto là:

Ví dụ: Cho A(0; 1), B(2; 5). Tính độ dài của vecto .

Giải

+ Tọa độ của vecto là:

= (2; 4)

+ Độ dài của vecto là:

2. Một số dạng bài tập liên quan đến độ dài của vecto

2.1. So sánh độ dài của vecto khi đã biết tọa độ của các vecto

Ví dụ: Cho vecto   = (4; 3) và vecto = (5; - 1). Hãy so sánh độ dài của vecto và vecto .

Giải

+ Độ dài của vecto là:

= 5

+ Độ dài của vecto là:

Vì 25 < 26 nên 5 < .

Vậy, < .

2.2. So sánh độ dài của vecto khi biết tọa độ điểm đầu và điểm cuối của các vecto

Ví dụ: Cho A(1; 1), B(3; 0), C(-2; 1), D(2; 3). Hãy so sánh độ dài của vecto và vecto .

Giải

+ Tọa độ của vecto là:

= (- 3; 0)

+ Độ dài của vecto là:

+ Tọa độ của vecto là:

= (- 1; 3)

+ Độ dài của vecto là:

Vì 9 < 10 nên 3 < .

Vậy, < .

2.3. Tìm tọa độ của vecto khi biết độ dài của vecto

Ví dụ: Cho vecto có tọa độ   = (a; 3). Hãy tìm tọa độ của vecto    biết vecto   có độ dài bằng 5.

Giải

+ Độ dài của vecto là:

+ Vì độ dài của vecto bằng 5 nên ta có phương trình:

= 5

a² + 3² = 5²

a² + 9 = 25

a² = 16

a = 4 hoặc a = - 4.

Vậy, tọa độ của vecto là: = (4; 3) hoặc = (- 4; 3).

2.4. Tìm tọa độ của điểm tạo nên vecto khi biết độ dài của vecto

Ví dụ: Cho điểm A(a; 2a), B(0; 1). Tìm tọa độ của điểm A biết độ dài của vecto bằng .

Giải

+ Tọa độ của vecto là:

= (- a; 1 - 2a)

+ Độ dài của vecto là:

+ Vì độ dài của vecto bằng nên ta có phương trình:

5a² - 4a + 1 = 2

5a² - 4a + 1 - 2 = 0

5a² - 4a - 1 = 0             

Vậy, tọa độ của điểm A là: A(1; 2) hoặc A( ; )

3. Bài tập tính độ dài của vecto

Bài 1: Cho điểm C(0; 3) và D(2; 1). Khi đó, độ dài của vecto là:

1. 2
4. Cả A, B, C đều sai

Bài 2: Cho các vecto: = (3; 4), = (5; 2), = (6; 1). Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là:

1. Độ dài của vecto là
2. Vecto có độ dài lớn nhất
3. Độ dài của vecto là một số nguyên 
4. Cả A, B, C đều đúng

Bài 3: Cho vecto có tọa độ = (- 4; a). Hỏi với giá trị nào của a để độ dài của vecto bằng 5?

1. a = 2 hoặc a = - 2
2. a = 3 hoặc a = - 3
3. a = 1 hoặc a = - 1
4. Cả A, B, C đều sai

Bài 4: Cho A(1; a), B(2a; 3). Biết độ dài của vecto bằng . Lúc này tọa độ của điểm B là:

1. B(2; 3)
2. B(- 2; 3)
3. B(4; 3)
4. B(- 4; 3)

Bài 5: Cho = (1; - 2), = (2b; - b). Biết độ dài của vecto gấp 2 lần độ dài của vecto . Khi đó, tọa độ của vecto là:

1. = (2; - 1) hoặc = (- 2; 1)
2. = (2; 1) hoặc = (- 2; - 1)
3. = (4; - 2) hoặc = (- 4; 2)
4. = (4; 2) hoặc = (- 4; - 2)

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể ghi nhớ công thức tính độ dài của vecto. Đồng thời có thể vận dụng công thức tính độ dài của vecto vào giải quyết nhiều bài tập liên quan hơn nữa.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang