Tích phân hàm ẩn là gì? Cách tính tích phân hàm ẩn chi tiết

Một trong các câu hỏi khó trong các kỳ thi như thi THPT- QG đó là câu hỏi liên quan đến tích phân hàm ẩn. Mặc dù đã được học kỹ các phương pháp tính tích phân, nhưng đứng trước yêu cầu về tính tích phân của hàm ẩn đa số các em còn nhiều lúng túng và thậm chí là không định hình được lời giải khi đứng trước các bài toán dạng này. Chúng ta hãy tìm hiểu một số phương pháp tích phân hàm ẩn.

1. Tích phân hàm ẩn là gì?

Tích phân hàm ẩn là một dạng tích phân của hàm số mà hàm số bị ẩn đi tức là chưa cho biết công thức mà chỉ cho một số điều kiện để chúng ta xác định được hàm số hoặc sử dụng các tính chất tích phân để tính được tích phân hàm ẩn đã cho.

Ví dụ: Cho hàm số  , liên tục trên đoạn  và thỏa mãn    

với  . Tính tích phân  

2. Các phương pháp tính tích phân

2.1. Phương pháp 1: tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

  Tính tích phân  .Giả sử   được viết dưới dạng ,trong đó hàm số có đạo hàm trên , hàm số y=f(u) liên tục sao cho hàm hợp  xác định trên  và  là hai số thuộc . Khi đó  

Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho . Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến tức là  

2.2. Phương pháp 2: Tính tích phân từng phần

Công thức (trong đó có đạo hàm liên tục trên  và là hai số thuộc ).

3.  Các dạng tính tích phân hàm ẩn

3.1. Tích phân hàm ẩn bằng cách đưa về nguyên hàm cơ bản

a. Kiến thức sử dụng

 * Nếu với mọi  thì

 * Các công thức về đạo hàm:

b. Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1. Cho hàm số , liên tục trên đoạn và thỏa mãn

với . Tính tích phân

Nhận xét: Nhận xét , biểu thức vế trái có dạng . từ đó ta có lời giải.

Ta có

 , do

 Nên ta có

 Khi đó

Ví dụ 2. Cho hàm số liên tục, không âm trên và thỏa mãn với và . Tính tích phân

Nhận xét: từ gt ta có , biểu thức vế trái có dạng . từ đó ta có lời giải.

Lời giải

Ta có

. Do nên ta có

(vì không âm trên ). Khi đó

Ví dụ 3.  (Mã đề 118 - 2023) Cho hàm số nhận giá trị dương trên khoảng , có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa mãn .

Biết . Giá trị của    thuộc khoàng nào dưới đây?

Lời giải

Ta có:  

Vì  nên

Vậy

Ví dụ 4.  Cho liên tục và có đạo  hàm trên thỏa mãn với và . Tính tích phân

Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức .Ta có

  , nên ta chọn

, từ đó ta có lời giải

Lời giải

Ta có

.

Do

Khi đó:

Với

Đặt  

Khi đó 

3.2. Tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến số

a. Kiến thức sử dụng

 Công thức :  

Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho . Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến tức là

1. Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1. Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn với . Tính tích phân

 Nhận xét: giả thiết chứa và , nên ta biến đổi tạo ra hai biểu thức này bằng cách đặt x = -t, từ đó ta có lời giải

Lời giải

 Đặt , đổi cận:

Khi đó 

Vì

nên

Ví dụ 2. Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn với . Tính tích phân

Nhận xét: giả thiết chứa và , nên ta biến đổi tạo ra hai biểu thức này bằng cách đặt , từ đó ta có lời giải

Lời giải

 Đặt , đổi cận  .

Khi đó

Ta có

3.3. Tích phân hàm ẩn bằng phương pháp tính tích phân từng phần

a. Kiến thức sử dụng

Công thức (trong đó u, v có đạo hàm liên tục trên K và a, b là hai số thuộc K).

b. Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn và . Tính tích phân

Lời giải

Đặt

Khi đó

Ví dụ 2. Cho hàm số f(x) liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn và . Tính tích phân

Lời giải

Đặt