Table of Contents
Giải bài toán bằng cách lập phương trình là biến bài toán bằng lời văn thành phương trình ứng với bài toán đã cho. Muốn giải bài toán này, các em học sinh phải nắm vững ngôn ngữ đại số (chỉ sử dụng các kí hiệu toán học), nắm vững các bước giải bài toán và giải thành thạo một số dạng toán cơ bản. Cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu Chuyên đề: Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình để giải các bài toán một cách dễ dàng nhé!
1. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Bước 1. Lập phương trình:
+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số.
+ Biểu diễn các dữ kiện chưa biết qua ẩn số.
+ Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết.
- Bước 2. Giải phương trình.
- Bước 3. Đối chiếu nghiệm của phương trình với điều kiện của ẩn số (nếu có) và với đề bài để đưa ra kết luận.
2. Các dạng toán liên quan các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình kèm ví dụ minh họa
2.1. Dạng 1: Dạng toán về năng suất lao động.
∗ Phương pháp giải:
Năng suất được tính bằng tỉ số giữa khối lượng công việc và thời gian hoàn thành.
Ví dụ 1: Một tổ may theo kế hoạch phải may 2500 bộ quần áo. Trong 14 ngày đầu họ đã thực hiện được đúng kế hoạch, những ngày còn lại họ đã may vượt mức mỗi ngày 10 bộ, nên đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày tổ phải may bao nhiêu bộ?
ĐÁP ÁN
Gọi số bộ quần áo tổ may phải may trong một ngày theo kế hoạch là x (x là số tự nhiên lớn hơn 0).
Thời gian hoành thành công việc theo kế hoạch là
Số bộ quần áo tổ may được trong 14 ngày đầu là 14x (bộ)
Số bộ quần áo còn lại tổ phải may cho đủ kế hoạch là 2500 - 14x (bộ)
Thời gian tổ phải may (2500 - 14x) bộ quần áo là
Vì tổ may đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày nên ta có phương trình:
⇔ x = 100 ( thỏa mãn điều kiện) hoặc x = -250 ( không thỏa mãn điều kiện)
Vậy số bộ quần áo tổ may phải may trong một ngày theo kế hoạch là 100 bộ.
Ví dụ 2: Tháng đầu hai nhà máy sản xuất được 780 vật liệu xây dựng. Sang tháng 2 nhà máy 1 làm vượt mức 12%, nhà máy 2 vượt mức 20% nên cả hai nhà máy đã sản xuất được 908 vật liệu xây dựng. Hỏi trong tháng đầu mỗi nhà máy đã sản xuất được bao nhiêu vật liệu xây dựng?
ĐÁP ÁN
Gọi số vật liệu xây dựng nhà máy 1 sản xuất được trong tháng đầu là x (0 ≤ x ≤ 780).
Số vật liệu xây dựng nhà máy 2 sản xuất được trong tháng đầu là 780 - x
Số vật liệu xây dựng nhà máy 1 sản xuất được trong tháng 2 là x + x.12%
Số vật liệu xây dựng nhà máy 2 sản xuất được trong tháng 2 là (780 - x)+(780 - x).20%
Vì cả hai nhà máy sản xuất được 908 vật liệu trong tháng 2 nên ta có phương trình:
(x + x.12%) + [(780 - x)+(780 - x).20%] = 908
⇔ 1,12x + 936 - 1,2x = 908
⇔ 0,08x = 28
⇔ x = 350
Vậy số vật liệu xây dựng nhà máy 1 sản xuất được trong tháng đầu là 350 (vật liệu),
số vật liệu xây dựng nhà máy 2 sản xuất được trong tháng đầu là 780 - 350 = 430 (vật liệu).
2.2. Dạng 2: Toán về công việc chung, làm riêng
∗ Phương pháp giải:
- Thường coi khối lượng công việc là 1 đơn vị.
- Năng suất 1 + năng suất 2 = tổng năng suất.
Ví dụ 3: Hai công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 1,2 giờ. Hỏi nếu làm riêng một mình thì mỗi công nhân cần bao nhiêu thời gian mới hoàn thành công việc, biết khi làm riêng công nhân 1 hoàn thành sớm hơn công nhân 2 là 1 giờ.
ĐÁP ÁN
Gọi thời gian hoàn thành công việc của công nhân 1 khi làm một mình là x (giờ).
Nếu làm riêng thì công nhân 1 hoàn thành công việc sớm hơn công nhân 2 là 1 giờ nên ta có thời gian hoàn thành công việc của công nhân 2 khi làm một mình là x + 1 (giờ).
Nếu làm một mình thì trong 1 giờ công nhân 1 làm được
công nhân 2 làm được
Nếu là chung thì 1,2 giờ xong công việc nên ta có:
⇒ 1,2.(x+1) + 1,2x = x.(x + 1) ⇔ x2 -1,4x - 1,2 = 0
⇔ (x - 2)(x + 0,6) = 0 ⇔ x = 2 (thỏa mãn) hoặc x = -0.6 (không thỏa mãn).
Vậy thời gian tổ 1, tổ 2 hoàn thành công việc một mình lần lượt là 2 giờ và 3 giờ.
2.3. Dạng 3: Toán về quan hệ các số .
Ví dụ 4: Tìm hai số dương biết rằng ba lần số bé kém 2 lần số lớn là 12 và tổng bình phương của chúng bằng 85.
ĐÁP ÁN
Gọi số lớn là x (x > 0)
Vì ba lần số bé kém 2 lần số lớn là 12 nên ta có số bé là:
Tổng bình phương của hai số bằng 85 nên ta có phương trình:
Vì x > 0 nên x = 9
Suy ra số bé là:
Vậy số lớn bằng 9, số bé bằng 2.
Ví dụ 5: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 12 và tổng lập phương của chúng bằng 576.
ĐÁP ÁN
Gọi số thứ nhất là x
Tổng của hai số là 12 nên số thứ hai là 12 - x
Tổng lập phương của hai số bằng 576 nên ta có phương trình
x3 + (12 - x)3 = 576
⇔ x3 + 1728 - 432x + 36x2 - x3 = 576
⇔ 36x2 - 432x + 1152 = 0
⇔ x = 8 hoặc x = 4
Vậy hai số cần tìm là 4 và 8.
2.4. Dạng 4: Toán liên hệ hình học
Ví dụ 6: Hình chữ nhật ABCD có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều dài thêm 2m và chiều rộng thêm 3m thì diện tích hình chữ nhật là 126m2. Tính chiều dài hình chữ nhật.
ĐÁP ÁN
Gọi chiều rộng hình chữ nhật là x (x là số tự nhiên khác 0)
chiều dài hình chữ nhật là 2x
Theo bài ra ta có phương trình:
(x + 3)(2x + 2)=126
⇔ 2x2 + 8x - 120 = 0
⇔ x = 6 (thỏa mãn điều kiện) hoặc x = -10 (không thỏa mãn điều kiện)
Vậy chiều dài hình chữ nhật là 2.6=12 (m).
2.5. Dạng 5: Toán chuyển động
∗ Phương pháp giải:
Quãng đường = vận tốc . thời gian
Ví dụ 7: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Sau đó đi từ B về A với vận tốc 35km/h nên thời gian về ít hơn 10 phút. Tính quãng đường AB.
ĐÁP ÁN
Gọi thời gian đi từ A đến B là t (giờ)
Quãng đường AB là 30t (km)
Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là 10 phút nên thời gian về là
Quãng đường BA là
Ta có phương trình:
Vậy quãng đường AB dài
2.6. Dạng 6: Toán về chuyển động trên dòng nước
∗ Phương pháp giải:
Ta có chú ý sau:
- Vận tốc tàu khi xuôi dòng = vận tốc của tàu khi nước yên lặng + vận tốc dòng nước
- Vận tốc tàu khi ngược dòng = Vận tốc của tàu khi nước yên lặng - Vận tốc dòng nước
Ví dụ 8: Một con tàu đi xuôi dòng từ A đến B hết 1 giờ 30 phút và ngược dòng từ B về A hết 2 giờ 15 phút. Tính vận tốc riêng của canô, biết vận tốc dòng nước là 2km/h.
ĐÁP ÁN
Đổi 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ; 2 giờ 15 phút = 2,25 giờ
Gọi vận tốc riêng của tàu là x (km/h)
Vận tốc xuôi dòng là x + 2 (km/h)
Quãng đường AB là 1,5.(x + 2) km
Vận tốc ngược dòng là x - 2 (km/h)
Quãng đường BA là 2,25.(x - 2) km
Ta có phương trình
1,5.( x + 2) = 2,25.(x - 2)
⇔ 0,75 x = 7,5
⇔ x = 10
Vậy vận tốc riêng của tàu là 10km/h.
2.7. Dạng 7: Các dạng khác
Ví dụ 9: Hai lớp 8A và 8B có tổng cộng 85 học sinh biết rằng 30% số học sinh lớp 8A và 20% số học sinh lớp 8B đạt loại giỏi. Tổng số học sinh giỏi của hai lớp là 21. Tính số học sinh lớp 8A.
ĐÁP ÁN
Gọi số học sinh lớp 8A là x ( 0<x<85)
30% số học sinh lớp 8A là x.30%
Số học sinh lớp 8B là 85 - x
20% số học sinh lớp 8B là (85 - x). 20%
Theo bài ra ta có phương trình:
x.30% + (85 - x).20% = 21
⇔ 0,1x + 17 = 21
⇔ 0,1x = 4
⇔ x = 40
Vậy số học sinh lớp 8A là 40 (học sinh)
Trên là các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình và một số dạng bài tập cơ bản sẽ giúp các em nắm chắc kiến thức để có thể áp dụng vào thực tế. Chúng các em thành công!
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang