Phương trình tương đương: Lý thuyết và bài tập có lời giải

Trong các bài học trước, các bạn học sinh đã được tìm hiểu về phương trình cũng như cách giải một phương trình. Trong bài học hôm nay, chúng ta cùng tìm hiểu một khái niệm mới có liên quan chặt chẽ đến các bài toán về phương trình: phương trình tương đương.

1. Phương trình tương đương lớp 8

1.1. Khái niệm phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương với nhau khi hai phương trình đó có cùng tập nghiệm.

Ta cùng xem một ví dụ sau để hiểu hơn về hai phương trình tương đương.

Ví dụ 1:

Phương trình có tập nghiệm là

Phương trình có tập nghiệm là

Ta thấy hai phương trình trên có cùng tập nghiệm, vậy nên ta nói hai phương trình trên là hai phương trình tương đương.

Ví dụ 2: 

Phương trình có tập nghiệm là

Phương trình có tập nghiệm là

Ta thấy hai phương trình trên có cùng tập nghiệm, vậy nên ta nói hai phương trình trên là hai phương trình tương đương.

Ví dụ 3: 

Phương trình có tập nghiệm là

Phương trình có tập nghiệm là

Ta thấy hai phương trình trên có cùng tập nghiệm, vậy nên ta nói hai phương trình trên là hai phương trình tương đương.

Ví dụ 4: 

Phương trình có tập nghiệm là

Phương trình có tập nghiệm là

Ta thấy hai phương trình trên có cùng tập nghiệm, vậy nên ta nói hai phương trình trên là hai phương trình tương đương.

Ví dụ 5: 

Phương trình có tập nghiệm là

Phương trình có tập nghiệm là

Ta thấy hai phương trình trên có cùng tập nghiệm, vậy nên ta nói hai phương trình trên là hai phương trình tương đương.

Ví dụ 6: 

Phương trình có tập nghiệm là

Phương trình có tập nghiệm là

Ta thấy hai phương trình trên không có cùng tập nghiệm, vậy nên ta nói hai phương trình trên không phải phương trình tương đương.

1.2. Ký hiệu hai phương trình tương đương

Để biểu diễn hai phương trình tương đương, ta dùng ký hiệu

Ví dụ 1: 

Phương trình có tập nghiệm là

Phương trình có tập nghiệm là

Ta thấy hai phương trình trên có cùng tập nghiệm, vậy nên ta nói hai phương trình trên là hai phương trình tương đương.

Ta viết lại như sau:

Ví dụ 2: 

Phương trình có tập nghiệm là

Phương trình có tập nghiệm là

Ta thấy hai phương trình trên có cùng tập nghiệm, vậy nên ta nói hai phương trình trên là hai phương trình tương đương.

Ta viết lại như sau:

Ví dụ 3: 

Phương trình có tập nghiệm là

Pương trình có tập nghiệm là

Ta thấy hai phương trình trên có cùng tập nghiệm, vậy nên ta nói hai phương trình trên là hai phương trình tương đương.

Ta viết lại như sau:

Ví dụ 4: 

Phương trình có tập nghiệm là

Phương trình có tập nghiệm là

Ta thấy hai phương trình trên có cùng tập nghiệm, vậy nên ta nói hai phương trình trên là hai phương trình tương đương.

Ta viết lại như sau: 

Ví dụ 5: 

Phương trình có tập nghiệm là

Phương trình có tập nghiệm là

Ta thấy hai phương trình trên có cùng tập nghiệm, vậy nên ta nói hai phương trình trên là hai phương trình tương đương.

Ta viết lại như sau:

2. Cách giải phương trình tương đương lớp 8

Giải phương trình bằng các phép biến đổi sau:

- Cộng hoặc trừ hai vế cho cùng một số hoặc biểu thức.

- Nhân hoặc chia hai vế cho cùng một số hoặc một biểu thức khác 0.

Lưu ý: Các phép toán như: chuyển vế đổi dấu cũng là cộng trừ hai vế cho cùng một số hoặc biểu thức.

Các phép biến đổi trên được gọi là các phép biến đổi tương đương. Khi sử dụng các phép biến đổi này, ta sẽ được một phương trình mới tương đương với phương trình trước đó. 

Để hiểu hơn về cách giải phương trình tương đương, ta cùng tham khảo các ví dụ sau.

Ví dụ 1: Cho phương trình

Ta cộng hai vế phương trình cho 8 (chuyển vế đổi dấu -8), ta được:

Chia hai vế phương trình cho 2, ta được:

Vậy ta được tập nghiệm của phương trình là

Ví dụ 2: Cho phương trình

Ta cộng hai vế phương trình cho -12 (chuyển vế đổi dấu 12), ta được:

Chia hai vế phương trình cho 3, ta được:

Vậy ta được tập nghiệm của phương trình là

Ví dụ 3: Cho phương trình

Ta cộng hai vế phương trình cho -2, -3x (chuyển vế đổi dấu 2 và 3x), ta được:

Chia hai vế phương trình cho -2, ta được:

Vậy ta được tập nghiệm của phương trình là

Ví dụ 4: Cho phương trình

Ta cộng hai vế phương trình cho -2, -2x (chuyển vế đổi dấu 2, 2x), ta được:

Chia hai vế phương trình cho -1, ta được:

Vậy ta được tập nghiệm của phương trình là

Ví dụ 5: Cho phương trình

Ta cộng hai vế phương trình cho -5, -2x (chuyển vế đổi dấu 5 và 2x), ta được:

Chia hai vế phương trình cho -1, ta được:

Vậy ta được tập nghiệm của phương trình là

3. Một số bài tập về phương trình tương đương

Bài tập 1: Các phương trình sau có tương đương với nhau không? Vì sao?

a. và

b. và

c. và

d. và

Bài tập 2: Chỉ ra các phương trình tương đương trong số các phương trình dưới đây

Bài tập 3: Giải các phương trình sau bằng phương pháp biến đổi tương đương

a.

b.

c.

Bài tập 4: Giải các phương trình sau bằng phương pháp biến đổi tương đương

a.

b.

c.

Bài tập 5: Xem cách giải phương trình dưới đây và cho biết đây là các giải đúng hay sai. Giải thích từng bước.

Vậy là chúng ta đã hiểu về phương trình tương đương, đồng thời thông qua các bài tập chúng ta cũng nắm được cách giải một phương trình tương đương. Hy vọng bài viết này cung cấp đủ kiến thức cho các bạn để học tốt các bài tiếp theo!

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang