Bài 3: Ứng Dụng Của Tích Phân Trong Hình Học

I. Tính diện tích hình phẳng

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số  liên tục trên đoạn , trục hoành và hai đường thẳng ,   được tính theo công thức.

 (SGK, trang 114)

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .

Giải:

2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Diện tích   của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ,   liên tục trên đoạn   và hai đường thẳng ,  được xác định.

 (SGK, trang 115)

Ví dụ 2:  Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng   và đồ thị của hai hàm số .

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:  

  (tương tự ví dụ 1)

» Xem thêm: Công thức tính diện tích hình phẳng mà bạn cần ghi nhớ

II. Tính thể tích

Thể tích của vật thể

Cắt một vật thể  bởi hai mặt phẳng   và   vuông góc với trục  lần lượt tại . Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với  tại điểm    cắt  theo thiết diện có diện tích là . Giả sử  liên tục trên đoạn .

Khi đó, thể tích phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng  và   được tính bởi công thức:

III. Thể tích khối tròn xoay

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường   liên tục trên đoạn , trục hoành và hai đường thẳng  quanh trục :   

» Xem thêm: Công thức tính thể tích khối tròn xoay

IV. Bài tập luyện tập ôn tập Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng của trường Nguyễn Khuyến

1. Bài tập tự luận

Bài 3/SGK Giải tích 12 cơ bản trang 126. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a)

b)  

c)

d)

Bài 4/SGK Giải tích 12 cơ bản trang 126. Tính:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Bài 5/SGK Giải tích 12 cơ bản trang 127. Tính:

a)

b)

c)

d)

Bài 6/SGK Giải tích 12 cơ bản trang 127. Tính:

a)

b)

c)

d)

e)

g)

Bài 7/SGK Giải tích 12 cơ bản trang 127. Xét hình phẳng D giới hạn bởi   và y = 2(1 - x)  

a) Tính diện tích hình D.

b) Quay hình D xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.