Picture of the author
Picture of the author
SGK Toán 12»Nguyên Hàm - Tích Phân & Ứng Dụng»Tích phân suy rộng: Điều kiện hội tụ, cá...

Tích phân suy rộng: Điều kiện hội tụ, cách tính và bài tập ví dụ có lời giải

Tìm hiểu về tích phân suy rộng toán Giải tích lớp 12 gồm tích phân suy rộng loại 1, loại 2, tích chất và điều kiện xét hội tụ tích phân suy rộng kèm theo bài tập ví dụ giải chi tiết dễ hiểu

Xem thêm

Tích phân suy rộng là giới hạn của một tích phân xác định như một điểm đầu nút của (các) khoảng lấy tích phân tiệm cận hoặc số thực xác định, trong một số trường hợp, cả hai điểm đầu nút đều đạt đến các giới hạn. Vậy có những loại tích phân suy rộng nào? Điều kiện hội tụ của các loại tích phân suy rộng là gì? Những chia sẻ của VOH Giáo dục dưới đây sẽ giúp các em học sinh giải đáp được các thắc mắc: 


1. Các loại tích phân suy rộng

Hiểu theo nghĩa thông thường tích phân suy rộng là giới hạn của tích phân xác định khi cho cận tích phân dần tới vô cùng. Tích phân suy rộng bao gồm 2 loại là tích phân suy rộng với cận vô hạn (tích phân suy rộng loại 1) và tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn (tích phân suy rộng loại 2)

1.1. Một số tính chất của tích phân suy rộng

voh.com.vn-tich-phan-suy-rong-1
Ảnh 1: Tính chất của tích phân suy rộng

1.2. Tích phân suy rộng loại 1

Giả sử f(x) là hàm số xác định trên khoảng a,+và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a,A, aA<+ khi đó ta có định nghĩa:

voh.com.vn-tich-phan-suy-rong-2
Ảnh 2: Định nghĩa tích phân suy rộng loại 1

Để hiểu hơn về định nghĩa tích phân suy rộng loại 1 các bạn có thể tham khảo một số ví dụ sau:

voh.com.vn-tich-phan-suy-rong-3
Ảnh 3: Ví dụ minh họa tích phân suy rộng loại 1
voh.com.vn-tich-phan-suy-rong-4
Ảnh 4: Ví dụ minh họa tích phân suy rộng loại 1

1.3. Tích phân suy rộng loại 2

Cho hàm sốf(x) là hàm số xác định trên khoảng [a.b) và khả tích trên [a,t] với mọi a<t<b, khi đó ta có định nghĩa:

voh.com.vn-tich-phan-suy-rong-5
Ảnh 5: Định nghĩa tích phân suy rộng loại 2

Để hiểu hơn về định nghĩa tích phân suy rộng loại 2 các bạn có thể tham khảo ví dụ dưới đây

voh.com.vn-tich-phan-suy-rong-6
Ảnh 6: Ví dụ minh họa tích phân suy rộng loại 2

2. Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng

Với mỗi loại tích phân suy rộng sẽ có những điều kiện riêng, cụ thể:

2.1. Điều kiện của tích phân suy rộng loại 1

Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 1 cụ thể như sau:

voh.com.vn-tich-phan-suy-rong-7
Ảnh 7: Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 1

2.2. Điều kiện của tích phân suy rộng loại 2 

Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 2 cụ thể như sau:

Về định nghĩa

voh.com.vn-tich-phan-suy-rong-8
Ảnh 8: Định nghĩa điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 2

Định lý về điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 2

voh.com.vn-tich-phan-suy-rong-9
Ảnh 9: Định lý về điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 2

Hệ quả của điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 2 được phát biểu như sau:

voh.com.vn-tich-phan-suy-rong-10
Ảnh 10: Hệ quả của điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 2 

Trên đây là những kiến thức liên quan đến tích phân suy rộng, hy vọng sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập. Chúc bạn ứng dụng giải toán thành công. 

Tác giả: VOH

Tích phân là gì? Phương pháp và công thức tính tích phân cần ghi nhớ
Tích phân hàm ẩn là gì? Cách tính tích phân hàm ẩn chi tiết