Đài tiếng nói nhân dân TPHCM
The Voice of Ho Chi Minh City People
  • Tổng hợp kiến thức về cấp số nhân

    Cấp số nhân là gì? Tính chất và các dạng bài tập được áp dụng như thế nào? Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ nhất về nó.

    Đối với các bạn học sinh có lẽ không còn xa lạ gì với cấp số nhân, đây là phép toán cơ bản được sử dụng khá nhiều ở chương trình trung học phổ thông. Bài viết này VOH sẽ giúp bạn củng cố lại các lý thuyết và một số bài tập liên quan thường gặp về cấp số nhân.

    voh.com.vn-cap-so-nhan-1

    Ôn tập cấp số nhân (Nguồn: Internet)

    Định nghĩa

    Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn). Trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q (công bội) không đổi.

    Có nghĩa là:

    unlà cấp số nhân n2, un-1.q, với nN*

    Ví dụ: Dãy số un, với un=2nlà một cấp số nhân với số hạng đầu u1=2 và công bội q=2.

    Tính chất

    Nếu un là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy

    Tức là: uuk=uk-1.uk+1

    Ví dụ: Cho cấp số nhân unvới công bội q > 0. Biết u1=1, u3=3. Tìm u4

    Giải

    Theo định lý 1, ta có:

    u22=u1.u3(1)

    u23=u2.u4(2)

    Từ (1) ta có u2> 0 vì u1=1>0, q > 0

    Suy ra u2=u1.u3. Từ đây ta được u4=u23u1.u3=321.3=33

    Công bội q

    q là công bội của cấp số nhân. Công bội q=un+1un 

    Ví dụ: Cho cấp số nhân un có u1=2, u2=4. Tính công bội q

    Áp dụng công thức ta có:

    q=u2u1=42=2

    Số hạng tổng quát

    Nếu một cấp số nhân có số hạng đầuunvà công bội q thì số hạng tổng quát unsẽ được tính bởi công thức:

    un=u1.qn-1

    Ví dụ: Cho cấp số nhân unvới u1=3, q=-12. Tìm u7

    Giải: u7=u1.-127-1=364

    Tổng n số hạng đầu tiên

    Giả sử có cấp số nhân unvới công bội q . Với mỗi số nguyên dương n gọi Snlà tổng n số hạng đầu tiên của nó.

    Sn=u1+u2+...+un=u11-qn1-q q1

    Nếu q =1 thì cấp số nhân là  Sn=n.u1

    Cấp số nhân lùi vô hạn

    Với uncó công bội q q<1được gọi cấp số nhân lùi vô hạn.

    Ví dụ: 12, 14, 18, 116,...là một cấp số nhân lùi vô hạn q=12

    Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

    Cho cấp số nhân lùi vô hạn uncó công bội q . Khi đó ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng: S=u11-q vi q<1.

    Một số bài tập ví dụ

    voh.com.vn-cap-so-nhan-2

    Bài tập cấp số nhân (Nguồn: Internet)

    Ví dụ 1: Cho 3 số a,b,c lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng a2+b2b2+c2=ab+bc2

    Ta có: a,b,c lập thành một cấp số nhân ta được ac=b2

    Khi: a2+b2b2+c2=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+acb2+b2c2=a2b2+2ab2c+b2c2=ab+bc2

    Vậy  a2+b2b2+c2=ab+bc2

    Ví dụ 2: Tính tổng cấp số nhân

    S=2+6+18+...+13122

    Xét cấp số nhân unu1=2 và công bội q = 3.

    Ta có: 

    13122=un=unqn-1=2.3n-1n=9S=S9=u1q9-1q-1=239-13-1=19682

    Ví dụ 3: Tìm x để ba số x-2, x-4, x+2 lập thành một cấp số nhân.

    Để 3 số x-2, x-4, x+2 lập thành một cấp số nhân, điều kiện là x-42=x-2x+28x=20x=52

    Vậy x=52 là số cần tìm để ba số x-2, x-4, x+2 trở thành một cấp số nhân.

    Trên đây là những kiến thức về cấp số nhân và các bài tập ví dụ liên quan. Hy vọng qua bài viết này đã giúp bạn ôn lại được các kiến thức cơ bản về cấp số nhân để có thể áp dụng vào trong quá trình học tập. Chúc các bạn thành công!

    Cách tính thể tích hình nón, hình chóp, hình chóp cụt : Dù bạn còn là học sinh hoặc ra trường rồi, thì việc nắm rõ cách tính thể tích hình nón sẽ là lợi thế rất lớn. Cùng tổng hợp lại các công thức quan trọng nhé!
    Định nghĩa, tính chất và một số dạng toán của cấp số cộng : Cấp số cộng là gì? nó có những tính chất và các dạng toán nào? Bài viết này sẽ giúp các bạn tìm hiểu tổng quát về cấp số cộng.

    CIE (Tổng hợp)