Table of Contents
Kiến thức về khối đa diện cùng các công thức tính thể tích khối đa diện là phần mà nhiều người gặp khó khăn vì sự phức tạp và đa dạng của công thức, dễ xảy ra nhầm lẫn. Vậy làm sao để có thể hiểu rõ và nhớ kỹ các cách làm, công thức tính thể tích thì chủ đề này sẽ trả lời mọi thắc mắc trên.
1. Khái niệm về thể tích khối đa diện
∗ Trước tiên chúng ta phải tìm hiểu xem hình đa diện và khối đa diện là gì? Vậy hình đa diện ( gọi tắt là đa diện ) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện sau:
• Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung hoặc có đỉnh chung hoặc có một cạnh chung.
• Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
∗ Khối đa diện = hình đa diện + phần không gian được giới hạn bởi hình đa diện.
Các hình là khối đa diện
Các hình không phải là khối đa diện
∗ Hình chóp là:
• Hình chóp là hình đa diện có mặt đáy là đa giác lồi và các mặt bên đều là tam giác có chung một đỉnh, đỉnh này gọi là đỉnh của hình chóp
• Hình chóp có nhiều loại khác nhau, tên của nó được quy định dựa theo đáy.
• Hình chóp tam giác có đáy là hình tam giác, hình chóp tứ giác có đáy là hình tứ giác.
• Trong các trường hợp đặc biệt như đáy là tam giác đều, tứ giác đều thì ta gọi đó là hình chóp đều
∗ Hình lăng trụ là:
• Hình lăng trụ là một đa diện gồm có hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song, các mặt bên là hình bình hành, các cạnh bên song song hoặc bằng nhau
• Cho hai mặt song song (α) và (α') . Trên (α) ta lấy đa giác lồi A1A2...An, qua các đỉnh này ta dựng các đường thẳng song song cắt (α') tại A1'A2'...An'. Hình bao gồm hai đa giác A1A2...An, A1'A2'...An' và các hình bình hành A1A2A1'A2',... được gọi là hình lăng trụ.
2. Công thức tính thể tích khối đa diện
2.1. Thể tích khối chóp
Trong đó:
• B: diện tích đáy
• h: chiều cao của hình chóp
2.2. Các công thức hình học phẳng hay sử dụng
2.2.1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho ΔABC vuông ở đường cao AH ta có:
• Định lý Pitago: BC2 = AB2 + AC2
• BA2 = BH . BC; CA2 = CH .CB
• AB.AC = BC.AH
•
2.2.2. Hệ thức lượng trong tam giác thường
• Định lý côsin:
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
b2 = a2 + c2 - 2bc.cosB
c2 = a2 + b2 - 2bc.cosC
• Định lý sin:
• Định lý đường trung tuyến:
2.2.3. Các công thức tính diện tích
∗ Công thức tính diện tích tam giác
Trong đó:
R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp.
2.3. Thể tích khối lăng trụ, khối hộp chữ nhật, khối lập phương
2.3.1. Thể tích khối lăng trụ
V = B.h
Trong đó:
• B là diện tích đáy,
• h là hiều cao khối lăng trụ
2.3.2. Thể tích khối hộp chữ nhật
V = a.b.c
Trong đó: a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
2.3.3. Thể tích khối lập phương
V = a3
Trong đó: a là độ dài cạnh của hình lập phương
3. Bài tập thể tích khối đa diện
Bài 1: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
∗ Cách giải
Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ (ABCD)
ABCD là hình vuông cạnh a ⇒
Xét tam giác vuông SOB có
⇒
→ Chọn câu A.
Bài 2: Cho khối chóp SABC có thể tích V. Các điểm A', B', C' tương ứng là trung điểm các cạnh SA, SB, SC. Thể tích khối chóp SA'B'C' bằng:
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Sử dùng tỉ số thể tích: Cho các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC của hình chóp SABC.
Khi đó ta có:
∗ Cách giải
Áp dụng tỉ số thể tích ta có:
⇔
⇒
→ Chọn câu A.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ΔABC vuông cân ở B, AC =
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Sử dụng công thức tỉ lệ thể tích:
∗ Cách giải
Qua G kẻ MN // BC
Gọi D là trung điểm của CD. Ta có:
Theo định lí Ta-let ta có:
⇒
Ta có ΔABC vuông cân tại B
⇒
⇒
Vậy
→ Chọn câu D.
Bài 4: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt phẳng (A'BC) và mặt phẳng (ABC) là 60o. Tính thể tích V của khối chóp A'.BCC'B'.
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Xác định góc giữa hai mặt phẳng, tính chiều cao và xét tỉ số thể tích khối đa diện.
∗ Cách giải
Gọi M là trung điểm của BC, ΔABC đều nên AM ⊥ BC
Mà ABC.A'B'C' là lăng trụ tam giác đều nên (ABC) ⊥ (B'BCC')
Lại có AM vuông góc với giao tuyến BC nên AM ⊥ (B'BCC')
⇒ A'M' ⊥ (B'BCC') với V1 là trung điểm của B'C'
⇒ A'M' = d(A';(B'BCC'))
Ta có
⇔
Lại có
⇔
=
Ta thấy AM là đường cao của tam giác đều cạnh a ⇒ AM =
Mặt khác
⇔
=
Vậy thể tích của khối chóp A'.BCCB' là
V =
=
=
→ Chọn câu D.
Bài 5: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có BB' = a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC =
A. V =
B. V =
C. V =
D. V = a3
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Công thức tính thể tích khối lăng trụ: V = S.h
Với: S là diện tích của đáy
h là chiều cao của khối chóp.
∗ Cách giải
Tam giác ABC vuông cân tại B và AC =
⇒
Thể tích V của khối lăng trụ đã cho là:
→ Chọn câu A.
Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AB' = 2a. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'
A. V =
B. V =
C. V =
D. V = 2a3
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Tam giác ABC là tam giác đều nên có diện tích là:
Do A'B'A vuông cân tại A' nên
Vậy thể tích V của khối lăng trụ là
→ Chọn câu C.
Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác A'B'A cân. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'
A. V =
B. V =
C. V =
D. V = 2a3
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Tam giác ABC là tam giác đều nên có diện tích đáy là:
Do A'B'A vuông cân tại A' nên A'A = A'B' = a
Do đó chiều cao của lăng trụ là h = A'A = a
Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' là:
→ Chọn câu B.
Chuyên đề thể tích khối đa diện là phần kiến thức rất đa dạng và thường chiếm một lượng câu hỏi từ 5-6 câu trong đề thi trung học phổ thông Quốc gia. Vậy khi đã học qua chủ đề này thì việc lấy điểm từ dạng hình học này sẽ không quá khó, quan trọng chúng ta phải học thuộc các công thức và cách nhận biết các loại hình học chính xác nhất.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang