Công thức tính thể tích khối chóp & các dạng toán ứng dụng

Trong chương trình Toán bậc THPT, khi nhắc về hình học không gian thì hầu như trên 50% các bài tập được xây dựng xoay quanh khối chóp. Thống kê như vậy đủ để thấy độ bao phủ và tầm quan trọng của chủ đề này. Hơn nữa trong đề thi THPTQG qua các năm, có hơn 4 câu nhắc về khối chóp tức là có trọng số 1/10 điểm. Như vậy chúng ta cùng tìm hiểu chi tiết chủ đề về khối chóp và thể tích khối chóp.

1. Công thức tính thể tích khối chóp

Trong đó: 

B: diện tích đáy

h: chiều cao của hình chóp

2. Các công thức hình học phẳng hay sử dụng để tính thể tích khối chóp

2.1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho vuông ở đường cao AH ta có:

• Định lý Pitago:

• ;

•

•

2.2. Hệ thức lượng trong tam giác thường

• Định lý côsin:

a² = b² + c² - 2bc.cosA

b² = a² + c² - 2bc.cosB

 c² = a² + b² - 2bc.cosC

• Định lý sin:               

• Định lý đường trung tuyến:

2.3. Các công thức tính diện tích

∗ Công thức tính diện tích tam giác 

Trong đó:

 R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp.

    là nửa chu vi.

Đặc biệt

ΔABC vuông ở A:

ΔABC đều cạnh A:

− Diện tích hình vuông: S = cạnh cạnh

− Diện tích hình chữ nhật: S = chiều dài chiều rộng

− Diện tích hình thoi: S = đường chéo đường chéo

− Diện tích hình thang: S = (đáy lớn + đáy nhỏ) chiều cao

− Diện tích hình bình hành: S = đáy chiều cao

− Diện tích hình tròn: S =

2.4. Các hệ thức quan trọng trong tam giác đều

3. Công thức tính nhanh thể tích khối chóp

∗ Bài toán: Thể tích tứ diện ABCD đều cạnh a.

   Hình vẽ: 

   Thể tích:

∗ Bài toán: Thể tích hình chóp S.ABC với các mặt (SAB), (SAC), (SBC) vuông góc với nhau từng đôi một, diện tích các tam giác lần lượt là S₁. S₂. S₃

   Hình vẽ

   Thể tích:

∗ Bài toán: Thể tích tứ diện ABCD gần đều (các cặp cạnh đối tương ứng bằng nhau)

   Hình vẽ:

   Thể tích:

∗ Bài toán: Thể tích hình chóp biết ba cạnh bên và ba góc ở đỉnh ,  ,  ,                                      

   Hình vẽ:

   Thể tích:

∗ Bài toán: Thể tích hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b.

   Hình vẽ:

   Thể tích:

∗ Bài toán: Thể tích hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy góc α

   Hình vẽ:

   Thể tích:

∗ Bài toán: Thể tích hình chóp tam giác đều cạnh bên là b, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β

   Hình vẽ:

   Thể tích:

∗ Bài toán: Thể tích hình chóp tam giác đều cạnh đáy là a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β

   Hình vẽ:

   Thể tích:

∗ Bài toán: Thể tích hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b

   Hình vẽ:

   Thể tích:

   Khi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a.

∗ Bài toán: Thể tích hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là góc

   Hình vẽ:

   Thể tích:

∗ Bài toán: Thể tích hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, với

   Hình vẽ:

   Thể tích:

∗ Bài toán: Thể tích hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng b, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là với

   Hình vẽ: 

   Thể tích:

4. Các dạng toán thường gặp về thể tích khối chóp

4.1. Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy

Thể tích khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:

Trong đó:

B: diện tích đáy.

h = độ dài đường cao = độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.

4.2. Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy

Thể tích khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy:

Trong đó:

B: diện tích đáy.

h = độ dài đường cao = độ dài đường cao hạ từ đỉnh chóp của mặt bên vuông góc với cạnh đáy.

Chú ý:

Cho mặt phẳng hai mặt phẳng (P) và (Q) và

Khi đó:

4.3. Khối chóp đều

Thể tích hình chóp đều:

Trong đó :

B: diện tích đáy.

h = độ dài đường cao = độ dài đường cao hạ từ đỉnh tới tâm hình chóp.

Chú ý:

Khối chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều, chân đường vuông góc hạ từ đỉnh là tâm của đáy.

Khối chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông, chân đường vuông góc hạ từ đỉnh là giao điểm hai đường chéo.

4.4. Tỉ số thể tích

Cho hình chóp S.ABC, trên cạnh SA, SB, SC lấy lần lượt A', B' và C'.

Khi đó ta có:

Chú ý:

Công thức trên chỉ áp dụng cho hình chóp tam giác.

5. Bài tập tính thể tích khối chóp

Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

A.

B.

C.

D.

Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có BC = 2a, góc giữa SB và (ABC) là . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A.

B.

C.

D.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với , . Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB, đường thẳng SC tạo với đáy một góc . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A.

B.

C.

D.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có góc giữa SC và mặt đáy bằng , đáy ABC là tam giác vuông tại A có AB = 2a, góc và hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

A.

B.

C.

D.

Bài 5: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng .

A.

B.

C.

D.

Như vậy chủ đề về thể tích khối chóp là một trong những nội dung hết sức quan trọng nên chúng ta cần đặc biệt lưu ý. Các dạng bài tập được phân dạng rất rõ ràng dựa trên giả thuyết đề bài, điều này sẽ giúp chúng ta khai thác được các yếu tố hình học một cách hệ thống hơn. Ngoài ra chúng ta cần xem lại nội dung lý thuyết hình học không gian 11 về phần mối quan hệ vuông góc trong không gian, vì đây là cơ sở để chúng ta xác định chính xác chiều cao của khối chóp. Bên cạnh đó các công thức nhanh cho các hình đặc biệt cũng là một lợi thế giúp tốc độ giải bài tập nhanh hơn, để hình thành được tri thức về các công thức tính nhanh ta cần đầu tư rèn luyện về bài tập.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang