Table of Contents
Nhắc về khối hộp chữ nhật hay khối lập phương thì chắc hẳn ở bậc THPT đó không phải là kiến thức xa lạ. Ở các cấp chương trình toán đều nhắc đến hai khối lăng trụ đặc biệt đó. Tuy nhiên, ở bậc THPT khối hộp chữ nhật được xem như là một trong các dạng hình thường gặp ở các dạng toán tìm thể tích, tính chiều cao, tính khoảng cách hoặc các dạng toán thực tế. Chủ đề này chúng ta sẽ đi khai thác rõ hơn về tính chất cũng như các dạng toán liên quan nhưng ở mức độ nâng cao hơn.
1. Khái niệm liên quan đến khối hộp chữ nhật trong chủ đề thể tích khối hộp chữ nhật
Cho hai mặt song song (a) và (a'). Trên (a) ta lấy đa giác lồi A1A2...An, qua các đỉnh này ta dựng các đường thẳng song song cắt (a') tại A1' A2'...An'
Hình bao gồm hai đa giác A1A2...An, A1' A2'...An' và các hình bình hành A1A2A1'A2',... được gọi là hình lăng trụ.
Chú ý:
• Các mặt đáy của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.
• Các mặt bên là các hình bình hành.
• Hai đáy hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
• Hình lăng trụ đứng: là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.
• Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ.
• Lúc đó các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật.
2. Thể tích khối hình hộp chữ nhật
Hình hộp chữ nhật là hình hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.
Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ.
Lúc đó các mặt bên và mặt đáy của hình là các hình chữ nhật.
3. Cách tính thể tích khối hộp chữ nhật
V = a.b.c
Trong đó: a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
4. Bài tập tính thể tích khối hộp chữ nhật
Bài 1: Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
B. Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
C. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
D. Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Chuẩn hóa các khối đa diện để xét tính đúng sai của đáp án.
∗ Cách giải
Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật: Stp = Sxq + 2ab = 2h(a + b) + 2ab
Thể tích hình hộp chữ nhật: V = abh.
Thể tích của lăng trụ là: V = Sđ.h
Diện tích toàn phần của khối lập phương: Stp = 6a2
Thể tích của khối lập phương: V = a3
Thể tích khối chóp là: V =
→ Chọn câu A.
Bài 2: Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng 6cm và chiều cao bằng 5cm.
A. 60cm3
B. 180cm3
C. 150cm3
D. 50cm3
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Thể tích khối hộp chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b, chiều cao c là V = abc.
∗ Cách giải
V= 6.6.5 = 180cm3
→ Chọn câu B.
Bài 3: Một hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có ba kích thước là 2cm, 3cm và 6cm. Thể tích của khối tứ diện ACB'D' bằng
A. 12cm3
B. 8cm3
C. 6cm3
D. 4cm3
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Tính thể tích khối hộp và dựa vào tỉ số thể tích tìm thể tích khối cần tìm
∗ Cách giải
Hình vẽ tham khảo
Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là
V = 2.3.6 = (36cm3)
Ta có
Vậy
→ Chọn câu A.
Bài 4: (Đề thi thử THPT QG môn Toán trường THPT Chuyên Thái Bình - lần 1 - năm 2018)
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' thể tích là V. Tính thể tích của tứ diện ACB'D' theo V.
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Chia khối hộp thành một khối tứ diện và bốn khối chóp, trong đó bốn khối chóp có diện tích đáy như nhau. Tính tổng thể tích của 4 khối chóp rồi suy ra thể tích của khối tứ diện.
∗ Cách giải
Gọi S là diện tích đáy ABCD và h là chiều cao của khối hộp.
Chia khối hộp thành khối tứ diện ACB'D và bốn khối chóp
A.A'B'D', C.C'B'D', B'.BAC, D'.DAC
Ta thấy bốn khối chóp sau đều có diện tích bằng
Từ đó duy ra thể tích của khối tứ diện ACB'D' bằng
→ Chọn câu D.
Bài 5: (Đề thi thử THPT QG môn Toán trường THPT Hải Hậu B - Nam Định - lần 1 - năm 2018)
Nếu ba kích thước của một khối hộp chữ nhật tăng lên k lần thì thể tích tăng lên:
A. k lần
B. k2 lần
C. k3 lần
D. 3 k3 lần
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Công thức tính thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc với a, b, c lần lượt là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
∗ Cách giải
Nếu tăng ba kích thước lên k lần thì
Do đó thể tích khối hộp tăng lên k3 lần.
∗ Chú ý khi giải
Rất nhiều học sinh nhầm lẫn chọn đáp án D khi tính nhầm tích ka.kb.kc, hoặc không sử dụng công thức tính thể tích mà vội vàng kết luận đáp án A dẫn đến chọn sai.
→ Chọn câu C.
Bài 6: Đề thi thử THPT QG môn Toán trường THPT Ba Đình - Thanh Hóa - lần 1 - năm 2018)
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Gọi M là trung điểm của BB'. Mặt phẳng (MDC') chia khối hộp chữ nhật thành hai khối đa diện. Một khối chứa đỉnh C và một khối chứa đỉnh A'. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích hai khối đa diện chứa C và A'. Tính
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
- Mở rộng mặt phẳng (MDC') rồi xác định thiết diện của hình hộp chữ nhật bị cắt bởi mặt phẳng (MDC'), từ đó phân chia thành hai phần đa diện chứa C và A'.
- Sử dụng phân chia thể tích khối đa diện chứa C thành hai khối chóp. Tính thể tích hai khối chóp đó theo công thức
- Từ đó suy ra thể tích của phần đa diện chứa C theo thể tích V của khối hộp chữ nhật sau đó ta tính được thể tích phần đa diện chứa A' và suy ra tỉ lệ thể tích.
∗ Cách giải
• Bước 1: Mở rộng mặt phẳng (MDC').
Lấy N là trung điểm của AB thì MN // AB' (vì MN là đường trung bình của tam giác ABB')
Mà DAB'C' là hình bình hành nên DC' // AB' nên suy ra MN // DC' hay mặt phẳng (MDC') trùng với mặt phẳng (MC'DN).
Từ đó mặt phẳng (MC'DN) chia hình hộp chữ nhật ra thành hai phần: phần đa diện chứa C là: BCC'DNM, phần đa diện chứa A' là NMC'DD'A'AB'.
• Bước 2: Ta có
Gọi thể tích ABCD.A'B'C'D' là V.
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên
C''C ⊥ (CDNB), NB ⊥ (BNC')
⇒
⇒
⇒
→ Chọn câu B.
Thể tích khối hộp chữ nhật về bản chất cũng được sử dụng công thức của thể tích khối lăng trụ đứng tuy nhiên khối lăng trụ đứng này có đáy là hình chữ nhật nên việc tính diện tích đáy trở nên dễ dàng hơn. Xét về bản chất chúng ta chỉ cần hiểu cấu trúc hình và biết được khối hình đó thuộc về loại nào từ đó ta có thể suy ra công thức tính mà không cần phải học thuộc. Đặc biệt chúng ta cần lưu ý các bài tập minh họa vì đây là các dạng toán đã qua chọn lọc và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi thử THPTQG ở các tỉnh.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang