Table of Contents
Trong chương trình toán bậc THCS, chúng ta đã được học về khái niệm đa giác lồi. Chủ đề hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về khái niệm khối đa diện lồi. Vậy một khối đa diện cần yếu tố gì để trở thành khối đa diện lồi, yếu tố đó có tương đồng với khái niệm về đa giác lồi không?
1. Tìm hiểu về khối đa diện
Khối đa diện = hình đa diện + phần không gian được giới hạn bởi hình đa diện.
Chú ý:
• Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ diện.
• Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh.
• Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.
• Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh.
• Không tồn tại một hình đa diện có:
+ Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh.
+ Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh.
Các hình là khối đa diện
Các hình không phải khối đa diện
2. Tổng hợp các đặc điểm, tính chất của khối đa diện có liên quan đến khối đa diện lồi
Mỗi đa diện sẽ chia các điểm còn lại của khối thành 2 miền gồm miền trong và miền ngoài của nó không giao nhau. Trong đó, chỉ có miền ngoài sẽ chứa trọn một đường thẳng nào đó. Còn các điểm của miền trong là các điểm trong và các điểm ngoài của đa diện là các điểm thuộc miền ngoài.
• Hợp của hình đa diện và miền trong của nó chính là khối đa diện.
• Phép dời hình và sự bằng nhau đều có trong khối đa diện. Trong đó:
• Phép biến hình trong không gian chính là quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất trong không gian.
• Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm tùy ý.
• Thực hiện liên tiếp nhiều phép dời hình sẽ được 1 phép dời hình.
• Phép dời hình sẽ biến các cạnh, đỉnh, mặt của đa diện này thành của đa diện kia hay biến một đa diện thành một đa diện khác.
3. Hình đa diện lồi
Khái niệm:
• Hình đa diện được gọi là hình đa diện lồi nếu nối hai điểm bất kì của hình đa diện đó ta được đoạn thẳng tạo thành luôn nằm trên hình đa diện hoặc nằm bên trong phần không gian giới hạn bởi các mặt của hình đa diện đó.
4. Khối đa diện lồi là gì?
Khái niệm: Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi.
∗ Khối đa diện lồi
∗ Khối đa diện không lồi
Ví dụ khối đa diện lồi: Các khối lăng trụ tam giác, khối hộp, khối tứ diện là những khối đa diện lồi
Người ta chứng minh được rằng một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng chứa một mặt của nó.
5. Bài tập khối đa diện lồi
Bài 1: Cho khối đa diện đều giới hạn bởi hình đa diện (H), khẳng định nào sau đây là sai?
A. Các mặt của (H) là những đa giác đều có cùng số cạnh.
B. Mỗi cạnh của một đa giác của (H) là cạnh chung của nhiều hơn hai đa giác.
C. Khối da diện đều (H) là một khối đa diện lồi.
D. Mỗi đỉnh của (H) là đỉnh chung của cùng một số cạnh.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Sử dụng định nghĩa khối đa diện đều.
∗ Cách giải
Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
- Các mặt là những đa giác đều và có cùng số cạnh.
- Mỗi đỉnh là đỉnh chung của cùng một số cạnh.
Từ định nghĩa khối đa diện đều ta thấy A, C, D đúng. Vậy B sai.
→ Chọn câu B.
Bài 2: Cho 3 khối hình 1, hình 2, hình 3. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hình 2 không phải là khối đa diện, hình 3 không phải là khối da diện lồi.
B. Hình 1 và hình 3 là các khối đa diện lồi.
C. Hình 3 là khối đa diện lồi, hình 1 không phải là khối đa diện lồi.
D. Cả 3 hình là các khối đa diện.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Sử dụng định nghĩa về khối đa diện và khối đa diện lồi.
∗ Cách giải
Câu C đúng vì hình 3 là đa diện lồi, hình 2 không phải là đa diện và hình 1 không phải là đa diện lồi.
→ Chọn câu C.
Bài 3: Cho khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba cạnh. Khi đó số đỉnh của khối đa diện là :
A. Số tự nhiên lớn hơn 3
B. Số lẻ
C. Số tự nhiên chia hết cho 3
D. Số chẵn
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Đối với mỗi khối đa diện ta kí hiệu Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt và đa diện đều đó thuộc loại
∗ Cách giải
Gọi khối đa diện thuộc loại {n; p} (khối đa diện lồi có các mặt là n – giác đều và mỗi đỉnh là đỉnh chung của p cạnh)
Theo đề bài ta có: p = 3.
Khi đó áp dụng công thức pĐ = 2C = nM. Trong đó Đ, C, M lần lượt là số đỉnh, số cạnh và số mặt của khối đa diện. ⇒ 3Đ = 2C ⇒ Đ =
→ Chọn câu D.
Bài 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
A. Khối tứ diện là khối đa diện lồi
B. Lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi.
C. Khối lập phương là khối đa diện lồi
D. Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H).
∗ Cách giải
Đáp án B: Lắp ghép hai khối hộp sẽ được 1 khối đa diện lồi (sai)
→ Chọn câu B.
Bài 5: Trong các hình sau hình nào là hình minh họa khối đa diện lồi:
A. Hình 1
B. Hình 2
C. Hình 3
D. Hình 4
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Phương pháp: Dựa vào khái niệm về khối đa diện lồi.
∗ Cách giải
Hình 2 là khối đa diện lồi vì đó là khối bát diện đều.
→ Chọn câu B.
Chủ đề này đã khái quát lại nội dung về khối đa diện để từ đó xây dựng khái niệm về khối đa diện lồi, mặc dù đây là nội dung ít khi xuất hiện trong kì thi THPTQG, tuy nhiên chủ đề này là cơ sở lý thuyết giúp chúng ta vận dụng vào các bài tập tính toán của hình học không gian.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang