Phương trình mặt cầu: Lý thuyết và các dạng bài tập

Phương trình mặt cầu trong không gian là một dạng toán hình học mô hình hóa không gian 3 chiều cho phép chúng ta xác định tâm và bán kính của một mặt cầu trong không gian thông qua các tham số đầu vào. Hãy cùng VOH Giáo dục tìm hiểu thông tin chi tiết về phương trình mặt cầu và những dạng bài toán liên quan. Đồng thời, chúng ta sẽ tìm hiểu các bài toán thực tế có thể gặp phải và cách áp dụng phương trình mặt cầu để giải quyết chúng.

I. Phương trình mặt cầu là gì?

Khái niệm về phương trình mặt cầu: Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.

Kí hiệu:  S( I;R ) => S( I;R ) = {M / IM = R}

Phương trình mặt cầu là một phần của hình học lớp 12

Phương trình mặt cầu có 2 dạng chính 

Phương trình chính tắc của mặt cầu:

Mặt cầu (S) có tâm O(a;b;c), bán kính R > 0 có phương trình là: (S): (x-a)² + (z-c)² = R²

Phương trình tổng quát của mặt cầu:

(S): x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (*)

Điều kiện để phương trình (*) là phương trình mặt cầu: a² + b² + c² – d = 0.

S có tâm O(a;b;c) và bán kính R = 

II. Hai dạng phương trình mặt cầu trong không gian

Sau khi đã biết được khái niệm cơ bản của phương trình mặt cầu. Phần tiếp theo các bạn cần tìm hiểu chính là các dạng phương trình mặt cầu trong không gian.

1. Vị trí mặt cầu với mặt phẳng cho trước

Cho mặt cầu S(I,R) và mặt phẳng (P). Ký hiệu d là khoảng cách từ I đến (P). Ta có:

• Trường hợp 1: Nếu d>R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.
• Trường hợp 2: Nếu d=R thì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Ta gọi đây là điều kiện tiếp xúc.
• Trường hợp 3: Nếu d<R thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính là r = 

Bài tập ví dụ: Cho mặt phẳng (α) : 2x − y + 2z − 7 = 0 và mặt cầu (S) : (x – 1)² + y² + (z + 2)² = 9 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (α) và tiếp xúc với (S). 

2. Vị trí mặt cầu với đường thẳng cho trước

Các dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Phương pháp:

• Cách 1: Sử dụng lý thuyết vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.
• Cách 2: Xét phương trình giao điểm của đường thẳng và mặt cầu.

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng cho trước

Phương pháp :

• Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu ở dạng tổng quát
• Bước 2: Xét phương trình giao điểm của d và (S). Điều kiện để mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng là phương trình giao điểm có nghiệm duy nhất.

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng có mối quan hệ với đường thẳng và mặt cầu

Phương pháp :

• Xác định điểm đi qua và véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng, từ đó viết ra phương trình.

Bài tập ví dụ: Cho mặt phẳng (α):2x+y+3z+1=0(α):2x+y+3z+1=0 và đường thẳng dd có phương trình tham số:

  d:⎧⎩⎨x=−3+ty=2−2tz=1d:{x=−3+ty=2−2tz=1

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

A. d⊥(α)

B. d không vuông góc nhưng cắt (α)

C. d // (α)

D. d⊂(α)

III. Bài tập phương trình mặt cầu

Có 3 dạng toán về phương trình mặt cầu thường gặp nhất, đó là:

1. Xác định tâm của mặt cầu.
2. Xác định bán kính của mặt cầu.
3. Viết phương trình của mặt cầu.

Dưới đây là những ví dụ cụ thể cho dạng bài toán này.

1. Ví dụ về dạng bài xác định tâm và bán kính của mặt cầu

A. Phương pháp

(S) : (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² tâm I (a;b;c) và bán kính R

(S) : x² + y² + z²  - 2ax – 2by - 2cz + d = 0  (*) là phương trình của một mặt cầu

<=> a² + b² + c² – d > 0.

Khi đó (S) có tâm tâm I (a; b; c) và bán kính R = 

B. Bài tập ví dụ:

Cho mặt cầu (S) : (x - 1)² + (y – 2)² + (z – 6)² = 25   . Tìm tâm I, bán kính R của mặt cầu (S).

A. I (1; 2; 6); R = 5.

B. I (-1; -2; -6); R = 5.

C. I (1; 2; 6); R = 25.

D. I (1; 2; 6); R = ± 5.

Chọn đáp án A

2. Ví dụ về dạng bài viết phương trình của mặt cầu

A. Phương pháp

Mặt cầu (S) có tâm  I (a, b, c) và bán kính R có phương trình:   

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².    

Do đó, muốn viết được phương trình của mặt cầu thì cần phải xác định được tâm I (a, b, c) và bán kính R. 

Chú ý:

Mặt cầu (S) có đường kính  và tâm  là trung điểm của AB.

Mặt cầu tâm I đi qua điểm A => R = IA.

Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D:

+ Giả sử (S) : x² + y² + z² - 2ax - 2by – 2cz + d = 0.

 Vì  nên ta có hệ gồm 4 phương trình, 4 ẩn. Giải hệ này tìm được tâm và bán kính của (S).

B. Bài tập ví dụ:

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; -3) đi qua A (1; 0; 4).

    A. (x + 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 53.

    B. (x + 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 53.

    C. (x - 1)² + (y - 2)² + (z – 3)² = 53.

    D. (x - 1)² + (y - 2)² + (z + 3)² = 53.

Lời giải:

Mặt cầu có bán kính R = I A = . = 

Vậy phương trình mặt cầu là (x – 1)² + (y – 2)² + (z + 3)²  = 53.

Vậy chọn đáp án D.

Trên đây là những thông tin chi tiết nhất về phương trình mặt cầu và những ví dụ cụ thể cho từng dạng bài toán riêng về phương trình mặt cầu thường gặp. Hy vọng với chia sẻ từ VOH Giáo dục sẽ giúp các em học sinh có thêm kiến thức về mặt cầu và giải bài tập tốt hơn. Chúc các em học tốt!