Vecto chỉ phương là gì? Cách tính vecto chỉ phương & bài tập vận dụng

Vectơ chỉ phương là một khái niệm mà chúng ta đã được tìm hiểu trong chương trình môn Toán lớp 10 trong phần mặt phẳng Oxy. Tuy nhiên, chúng ta lại tiếp tục gặp lại khái niệm này trong chương trình môn Toán lớp 12 trong phần không gian Oxyz. Vậy, các vấn đề trọng tâm về vectơ chỉ phương trong không gian Oxyz là gì? Để có thể hiểu rõ hơn về nội dung chi tiết, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

1.1. Định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng

+ Vectơ chỉ phương của đường thẳng là một vectơ khác vectơ-không và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng.

+ Mỗi đường thẳng có vô số các vectơ chỉ phương.

1.2. Cách tính vectơ chỉ phương của đường thẳng

+ Giả sử đường thẳng a đi qua hai điểm M(m₁; m₂; m₃) và N(n₁; n₂; n₃).

+ Vectơ chỉ phương của đường thẳng a là:

= = (n₁ - m₁; n₂ - m₂; n₃ - m₃)

Ví dụ: Đường thẳng a đi qua hai điểm M(1; 2; 4) và N(-1; 3; 1). Tính vectơ chỉ phương của đường thẳng a.

Giải

Vectơ chỉ phương của đường thẳng a là:

= (- 1 - 1; 3 - 2; 1 - 4) = (- 2; 1; - 3).

1.3. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết phương trình đường thẳng

Đối với đường thẳng được cho dưới dạng phương trình tham số:  (với t R) hoặc phương trình chính tắc: .

Lúc này, vectơ chỉ phương của đường thẳng là: = (a; b; c)

Ví dụ: Phương trình đường thẳng a là: có vectơ chỉ phương là: = (2; - 1; - 4).

» Xem thêm: Cách tìm vecto chỉ phương của đường thẳng (chi tiết, dễ hiểu)

2. Vectơ chỉ phương của mặt phẳng

2.1. Định nghĩa vectơ chỉ phương của mặt phẳng

• Vectơ chỉ phương của mặt phẳng là một vectơ khác vectơ-không và có giá song song với mặt phẳng hoặc nằm trong mặt phẳng.
• Mỗi mặt phẳng có vô số các vectơ chỉ phương.

2.2. Cách tính vectơ chỉ phương của mặt phẳng

+ Giả sử hai điểm M(m₁; m₂; m₃) và N(n₁; n₂; n₃) là hai điểm thuộc mặt phẳng (P).

+ Vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) là:

= = (n₁ - m₁; n₂ - m₂; n₃ - m₃)

Ví dụ: M(2; 3; 4) và N(3; 5; 2) là hai điểm thuộc mặt phẳng (P). Lúc này, vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) là:

= (3 - 2; 5 - 3; 2 - 4) = (1; 2; - 2).

2.3. Kiểm tra một vectơ nào đó có phải là vectơ chỉ phương của mặt phẳng hay không

+ Cho mặt phẳng (Q):  Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A² + B² + C² > 0. Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến là:

= (A; B; C).

+ Một vectơ = (a; b; c) là vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Q) nếu:

= 0 a.A + b.B + c.C = 0.

Ví dụ: Vectơ = (1; 0; - 3) có phải là vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Q): 3x + y + z - 2 = 0 không? Tại sao?

Giải

+ Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là = (3; 1; 1).

+ Ta có: = 3.1 + 1.0 + 1.(- 3) = 0.

Vậy, vectơ = (1; 0; - 3) là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Q).

3. Bài tập về vectơ chỉ phương lớp 12

Bài 1: Đường thẳng d đi qua hai điểm P(- 3; 1; 2) và Q(0; 2; 1) . Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là:

1. = (3; 1; 1)
2. = (3; - 1; 1)
3. = (3; 1; - 1)
4. Cả A, B, C đều sai

Bài 2: Biết phương trình chính tắc của đường thẳng d là: . Lúc này, đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:

1. = (2; 3; 4)
2. = (2; - 3; 4)
3. = (- 2; 3; 4)
4. = (2; 3; - 4)

Bài 3: Hai điểm A(0; 1; - 2) và B(3; 2; - 4) là hai điểm thuộc mặt phẳng (Q). Lúc này, vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Q) là:

1. = (3; 1; - 2)
2. = (3; - 1; 2)
3. = (- 3; 1; 2)
4. Cả A, B, C đều sai

Bài 4: Biết = (3; - 2u; - 1) là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P): 2x - 3y + z + 1 = 0. Lúc này, giá trị của u là:

1. u =
2. u =
3. u =
4. Cả A, B, C đều sai

Bài 5: Trong các vectơ sau đây, vectơ nào có thể là vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Q): x + 2x - 4z + 9 = 0.

1. Vectơ có điểm đầu A(1; 1; 2) và điểm cuối B(- 2; 0; 1).
2. Vectơ có tọa độ = (2; 3; - 1).
3. Vectơ có điểm đầu M(2; - 1; - 3) và điểm cuối N(4; 1; 3)
4. Cả A, B, C đều sai.

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể nắm vững những nội dung kiến thức liên quan đến vectơ chỉ phương của đường thẳng và của mặt phẳng trong không gian. Đồng thời vận dụng giải quyết những bài toán liên quan.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang