Phương trình tham số của đường thẳng trong không gian (chi tiết, dễ hiểu)

Phương trình tham số của đường thẳng là gì? Cách viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng như thế nào? Bài viết trình bày chi tiết và dễ hiểu về phương trình tham số của đường thẳng trong không gian. Bạn sẽ tìm hiểu cách biểu diễn đường thẳng thông qua các tham số và cách xác định phương trình tham số từ các điểm và vectơ hướng. Những ví dụ minh họa và bài tập thực hành giúp bạn nắm vững kiến thức này.

1. Lý thuyết về phương trình tham số đường thẳng trong không gian

1.1. Phương trình tham số của đường thẳng

• Đường thẳng đi qua điểm và có véc-tơ chỉ phương (VTCP) có phương trình tham số .

• Điểm thuộc đường thẳng .

• Nếu thì được gọi là phương trình chính tắc của .

Đặc biệt:

Trục có VTCP .    

Trục có VTCP .

Trục có VTCP .

1.2. Vị trí tương đối

 a) Vị trí tương đối của hai đường thẳng và .

Phương pháp . Xét và .

.           

.

cắt .             

chéo .

vuông góc với

b) Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng có phương trình tham số   

và mặt phẳng .

 cắt .

.

vuông góc cùng phương.

c) Vị trí tương dối giữa đường thẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu có tâm , bán kính và đường thẳng . Để xét vị trí tương đối giữa và ta tính khoảng cách từ tâm đến , kí hiệu là rồi so sánh với bán kính .

 ⇔     không cắt .

  ⇔    tiếp xúc với tại .

  ⇔   cắt tại hai điểm phân biệt , .

1.3. Khoảng cách

Khoảng cách từ đến

, với và là một véctơ chỉ phương của đường thẳng .

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau và

( và ,  lần lượt là véctơ chỉ phương của , ).

1.4. Góc

Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng và có véctơ chỉ phương và .

, với .

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng có véctơ chỉ phương và mặt phẳng có véctơ pháp tuyến .

Khi đó , với .

2 . Các dạng bài tập về phương trình tham số của đường thẳng trong không gian và cách giải

2.1. Viết phương trình tham số của đường thẳng bằng cách tìm vec tơ chỉ phương

Dạng 1.  Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường thẳng đi qua và

Đường thẳng

Dạng 2. Viết phương trình tham số đường thẳng và  phương trình chính tắc (nếu có), biết đi qua điểm và song song với đường thẳng

Ta có  

Dạng 3.  Viết phương trình tham số đường thẳng và  phương trình chính tắc (nếu có), biết đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng

Ta có

Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ , viết phương trình tham số của đường thẳng qua điểm và trung điểm của với và  

Lời giải

Trung điểm của là .

Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ , cho ba điểm . Điểm thuộc cạnh sao cho . Phương trình tham số của đường thẳng là: 

Lời giải

 Ta có và M thuộc cạnh BC nên

Phương trình dường thẳng là: .

Ví dụ 3: Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng . Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua   và vuông góc với .

Lời giải

Do đường thẳng cần tìm vuông góc với nên nhận vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng đi qua có vectơ chỉ phương có dạng: .

2.2. Viết phương trình tham số của đường thẳng khi biết cặp vectơ vuông góc với vec tơ chỉ phương của đường thẳng

Quy ước: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là vectơ có giá vuông góc với đường thẳng

Nếu đường thẳng d vtcp , có cặp vectơ pháp tuyến và   thì .

Một số các trường hợp thường gặp:

• Dạng 1. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng và  cho trước.

Ta có

• Dạng 2. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với hai đường thẳng cho trước.

Ta có  

• Dạng 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua và song song với hai mặt phẳng

Ta có

• Dạng 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua vuông góc và song song mặt

Ta có

• Dạng 5. phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt song song mặt và qua

Ta có

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng (P):. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua , song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng d.

Lời giải

Do

Suy ra phương trình đường thẳng ∆ là .

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm và song song với hai mặt phẳng và

Lời giải

Ta có

Đường thẳng d qua A(-1;0;2) và nhận là một VTCP

.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác và vuông góc với mặt phẳng

Lời giải

Giả sử . Khi đó:

Ta có:

Đường thẳng qua G và nhận là vtcp .

Ví dụ 4: Cho 2 đường thẳng và . Phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với cả d₁ và d2 ?

Lời giải

Gọi d là đường thẳng cần tìm. Ta có:

Khi đó .

2.3. Viết phương trình tham số của đường thẳng liên quan đến chữ “cắt” suy ra phương pháp tìm điểm cắt.

Các dạng thường gặp

• Dạng 1: Lập phương trình đường thẳng qua A cắt d và vuông góc với ∆ (hoặc song song với (P))

Phương pháp giải :

Giả sử d’ cắt d tại điểm B, gọi tọa độ điểm theo tham số, ta có tọa độ điểm B, phương trình đường thẳng cần tìm là AB.

Chú ý: Trong trường hợp ta có

 Đối với bài toán viết phương trình đường thằng Δ nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d ta làm như sau :

Bước 1: Tìm giao điểm A của d và mặt phẳng (P)

Bước 2: Do , đường thẳng cần tìm đi qua A và có vectơ chỉ phương là

Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;0) và đường thẳng . Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M, cắt và vuông góc với ∆

Lời giải

Ta có: . Gọi là giao điểm của d và ∆

Suy ra , do

Do đó .

Ví dụ 2: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2018] Trong không gian tọa độ, cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng . Đường thẳng qua A, vuông góc với d và cắt Ox có phương trình là :

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm, ta có

Khi đó

Do

Vậy .