Top 3 cách tìm trục đối xứng của đồ thị hàm số cực hay, chi tiết

Trong chương trình THPT, tri thức Toán nhắc đến rất nhiều hàm số và ở các chủ đề trước ta đã thực hiện các bước khảo sát các hàm số thường gặp. Như vậy, trục đối xứng của đồ thị hàm số có giống lý thuyết đối xứng trục đã được học và có phải hàm số nào cũng có trục đối xứng?

1. Khái niệm về trục đối xứng của đồ thị hàm số

1.1. Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng

Hai điểm được gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

A đối xứng với B qua đường thẳng d nên d là đường trung trực của AB

Ngoài ra nếu A thuộc đường thẳng d thì điểm đối xứng với A qua d là chính nó.

1.2. Hai hình đối xứng qua một đường thẳng

Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại.

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai hình đó.

Tam giác ABC đối xứng với tam giác A’B’C’ qua đường thẳng d nên ta nói d là trục đối xứng của hai tam giác đó.

1.3. Trục đối xứng của đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số là phần hình vẽ mô tả hàm số trên hệ trục tọa độ tương ứng. Trong chương trình bậc THPT, tri thức toán giới thiệu chi tiết về các loại hàm số sau: hàm số bậc 2, hàm số bậc 3, hàm số bậc 4 trùng phương, hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, hàm chứa dấu trị tuyệt đối. Như vậy trong chủ đề này ta cần làm rõ về các đồ thị hàm số có tồn tại trục đối xứng theo như định nghĩa sau:

Trục đối xứng của đồ thị hàm số là đường thẳng chia phần hình của đồ thị thành hai miền có bờ là đường thẳng đó sao cho phần hình bên này đối xứng với phần hình bên kia qua đường thẳng.

2. Trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai

Hàm số bậc 2 là hàm số có dạng . Khảo sát hàm số bậc 2.

• Tập xác định:

• Sự biến thiên

Bảng biến thiên của hàm số chia làm 2 trường hợp:

Trường hợp , hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng .

Trong trường hợp , hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng .

• 

•

Như vậy dễ dàng nhận thấy ở cả hai trường hợp về dấu của a, đồ thị hàm số bậc 2 có dạng Parabol luôn đối xứng qua đường thẳng

Vậy trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai là đường thẳng đi qua điểm nằm trên trục có hoành độ là và đồng thời vuông góc với ( hay nói cách khác là song song với ).

3. Trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương

Hàm số bậc bốn trùng phương có dạng:

• Tập xác định:

• Đạo hàm:

• Trục đối xứng (trục tung)

• Giao điểm của đồ thị hàm số với là

• Bảng biến thiên

Với x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình

Xét dấu trên các khoảng xác định.

Kết luận về chiều biến thiên của hàm số.

∗ Đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương

Trường hợp 1:

có ba nghiệm phân biệt ⇔ hàm số có ba cực trị

có duy nhất một nghiệm ⇔ hàm số có một cực trị

Trường hợp 2:

có ba nghiệm phân biệt ⇔ hàm số có ba cực trị

có duy nhất một nghiệm ⇔ hàm số có một cực trị

Vậy trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương là đường thẳng hay còn gọi là trục

4. Trục đối xứng của đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Từ đồ thị suy ra đồ thị

Ta có và là hàm chẵn

Nên đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

Cách vẽ từ :

• Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục Oy của đồ thị (bỏ phần bên trái).

• Lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục Oy của đồ thị qua .

Vậy trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương là đường thẳng hay còn gọi là trục

5. Bài tập về trục đối xứng của đồ thị hàm số

Bài 1: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A.

B.

C.

D.

Bài 2: Ðường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A.

B.

C.

D.

Bài 3: Cho đường cong (T) được vẽ bởi nét liên trong hình vẽ. Hỏi (T) là dạng đồ thị của hàm số nào?

A.

B.

C.

D.

Bài 4: Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số trên nhận đường thẳng làm trục đối xứng?

A.

B.

C.

D.

Bài 5: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không có trục đối xứng?

A. Hàm số bậc 4

B. Hàm số bậc 4 trùng phương

C. Hàm số parabol

D. Hàm số

Ta có thể kết luận rằng tùy thuộc vào tính chất của hàm số mà đồ thị hàm số sẽ có dạng đối xứng. Ở hàm số bậc 3, hàm phân thức bậc nhất ta dễ dàng thấy được lý thuyết có đề cập đến khái niệm tâm đối xứng và ở hàm số bậc 2, hàm số bậc 4 trùng phương và hàm số là các dạng đồ thị đối xứng nhau qua trục đường thẳng có dạng x=a. Dạng bài tập này thường xuyên xuất hiện trong kì thi THPTQG ở dạng toán nhận biết đồ thị hàm số.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang