Table of Contents
Trong chương trình THPT, tri thức Toán nhắc đến rất nhiều hàm số và ở các chủ đề trước ta đã thực hiện các bước khảo sát các hàm số thường gặp. Như vậy, trục đối xứng của đồ thị hàm số có giống lý thuyết đối xứng trục đã được học và có phải hàm số nào cũng có trục đối xứng?
1. Khái niệm về trục đối xứng của đồ thị hàm số
1.1. Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng
Hai điểm được gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
A đối xứng với B qua đường thẳng d nên d là đường trung trực của AB
Ngoài ra nếu A thuộc đường thẳng d thì điểm đối xứng với A qua d là chính nó.
1.2. Hai hình đối xứng qua một đường thẳng
Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại.
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai hình đó.
Tam giác ABC đối xứng với tam giác A’B’C’ qua đường thẳng d nên ta nói d là trục đối xứng của hai tam giác đó.
1.3. Trục đối xứng của đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số là phần hình vẽ mô tả hàm số trên hệ trục tọa độ tương ứng. Trong chương trình bậc THPT, tri thức toán giới thiệu chi tiết về các loại hàm số sau: hàm số bậc 2, hàm số bậc 3, hàm số bậc 4 trùng phương, hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, hàm chứa dấu trị tuyệt đối. Như vậy trong chủ đề này ta cần làm rõ về các đồ thị hàm số có tồn tại trục đối xứng theo như định nghĩa sau:
Trục đối xứng của đồ thị hàm số là đường thẳng chia phần hình của đồ thị thành hai miền có bờ là đường thẳng đó sao cho phần hình bên này đối xứng với phần hình bên kia qua đường thẳng.
2. Trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai
Hàm số bậc 2 là hàm số có dạng
• Tập xác định:
• Sự biến thiên
Bảng biến thiên của hàm số
Trường hợp
Trong trường hợp
•
•
Như vậy dễ dàng nhận thấy ở cả hai trường hợp về dấu của a, đồ thị hàm số bậc 2 có dạng Parabol luôn đối xứng qua đường thẳng
Vậy trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai là đường thẳng
3. Trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương
Hàm số bậc bốn trùng phương có dạng:
• Tập xác định:
• Đạo hàm:
• Trục đối xứng
• Giao điểm của đồ thị hàm số với
• Bảng biến thiên
Với x1 và x2 là nghiệm của phương trình
Xét dấu
Kết luận về chiều biến thiên của hàm số.
∗ Đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương
Trường hợp 1:
Trường hợp 2:
Vậy trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương là đường thẳng
4. Trục đối xứng của đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Từ đồ thị
Ta có
Nên đồ thị
Cách vẽ
• Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục Oy của đồ thị
• Lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục Oy của đồ thị
Vậy trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương là đường thẳng
5. Bài tập về trục đối xứng của đồ thị hàm số
Bài 1: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Phương pháp
Dựa vào hình dáng đồ thị, tọa độ giao điểm với hai trục tọa độ và điểm cực trị của hàm số
Cách giải
Dựa vào hình vẽ ta thấy rằng:
Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm
Và đồ thị hàm số
Thay vào các đáp án để thử
Vậy hàm số cần tìm là
→ Chọn câu C.
Bài 2: Ðường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Phương pháp
Dựa vào đồ thị hàm số để đưa ra nhận xét và chọn hàm số hợp lý.
Cách giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt, có 3 cực trị và nhận trục tung làm trục đối xứng nên đồ thị của hàm số là đồ thị của hàm trùng phương.
→ Chọn câu A.
Bài 3: Cho đường cong (T) được vẽ bởi nét liên trong hình vẽ. Hỏi (T) là dạng đồ thị của hàm số nào?
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Phương pháp
Cách dựng các đồ thị hàm số
- Dựng đồ thị hàm số
- Dựng đồ thị hàm số
Cách giải
Đường cong đã cho được tạo bởi đồ thị hàm số
Ta thấy
Vì đường cong được tạo bởi phép đối xứng qua trục tung nên nó là đồ thị hàm số
→ Chọn câu D.
Bài 4: Cho hàm số
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Cách giải
Đồ thị hàm số bậc 2 có dạng Parabol luôn đối xứng qua đường thẳng
→ Chọn câu B.
Bài 5: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không có trục đối xứng?
A. Hàm số bậc 4
B. Hàm số bậc 4 trùng phương
C. Hàm số parabol
D. Hàm số
ĐÁP ÁN
Cách giải
Vì hàm số bậc 4 không trùng phương là một hàm số không là hàm số chẵn nên không phải là hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Thực hiện khảo sát hàm số bậc 4 không trùng phương để có nhận định rõ hơn.
Hàm số bậc bốn không trùng phương có dạng:
Tập xác định:
Đạo hàm:
Giao điểm của đồ thị hàm số với
Bảng biến thiên
Sử dụng máy tính bỏ túi để giải phương trình bậc ba trên tìm nghiệm. (Ngoài ra chúng ta có thể áp dụng phương pháp giải phương trình bậc ba tổng quát Cardano)
Đồ thị hàm số bậc 4 không trùng phương
Với a>0 và
Với a>0 và
Với a<0 và
Với a<0 và
→ Chọn câu A.
Ta có thể kết luận rằng tùy thuộc vào tính chất của hàm số mà đồ thị hàm số sẽ có dạng đối xứng. Ở hàm số bậc 3, hàm phân thức bậc nhất ta dễ dàng thấy được lý thuyết có đề cập đến khái niệm tâm đối xứng và ở hàm số bậc 2, hàm số bậc 4 trùng phương và hàm số
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang