Hai phân thức bằng nhau khi nào? Các dạng bài tập chứng minh

Thế nào là hai phân thức bằng nhau? Hai phân thức bằng nhau khi nào? Các dạng bài tập và phương pháp giải chi tiết, dễ áp dụng về hai phân thức bằng nhau. Bài viết dưới đây sẽ giúp các bạn hiểu rõ về các kiến thức này

1. Nhắc lại khái niệm phân thức đại số và một vài chú ý

Phân thức đại số (thường được gọi là phân thức) là một thức có dạng với đa thức . X, Y là những đa thức.

trong đó:

- X được gọi là tử thức

- Y được gọi là mẫu thức

Ví dụ:

Ở đây, x² + 1 là tử thức; x + 2 là mẫu thức

Vậy một đa thức bất kì có được gọi là phân thức đại số hay không?

*Chú ý:

- Một đa thức bất kì cũng được gọi là một phân thức đại số. Khi đó, đa thức đó là tử thức; mẫu thức là 1

Ví dụ: x – 2x² là một phân thức với tử thức là x – 2x² và mẫu thức là 1

- Số 0 và số 1 cũng được coi là một phân thức đại số

2. Định nghĩa hai phân thức bằng nhau và các tính chất của nó

Cho hai phân thức và với  

Hai phân thức này được gọi là bằng nhau nếu : X.T = Y.Z

 Kí hiệu: nếu X . T = Y . Z

Ví dụ:

 *Một số tính chất về hai phân thức đại số bằng nhau:

- Tính chất 1: Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một đa thức với một đa thức (khác không) thì ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho. Nghĩa là

  với A là một đa thức khác 0

-  Tính chất 2: Nếu ta chia cả tử và mẫu của một đa thức với một đa thức (khác không) thì ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho. Nghĩa là

với A là một đa thức khác 0

- Tính chất 3: Đổi dấu cả tử và mẫu của phân thức đại số ban đầu ta được một phân thức đại số mới bằng phân thức cũ. Nghĩa là:

- Tính chất 4: Đổi dấu tử hoặc mẫu của phân thức và đổi dấu cả phân thức đó, ta cũng được một phân thức mới bằng phân thức cũ. Nghĩa là:

3. Các dạng bài tập hai phân thức bằng nhau

3.1. Dạng 1: Một số câu hỏi trắc nghiệm củng cố lý thuyết

*Phương pháp giải: Dựa vào khái niệm, các tính chất về phân thức đại số bằng nhau để chọn đáp án đúng.

Bài tập luyện tập

Câu 1: Phân thức nào dưới đây bằng phân thức :

A.

B.

C.  

D.

Câu 2: Phân thức bằng phân thức nào dưới đây?

A.

B.

C.

D.

Câu 3: Cho phân thức . Phân thức nào sau đây bằng phân thức này?

A.

B.

C.

D.

3.2. Dạng 2: Xét xem các cặp phân thức đã cho có bằng nhau không?

*Phương pháp giải: dựa vào điều kiện để hai phân thức bằng nhau và một số tính chất đã nêu ở trên để giải bài toán.

Ví dụ: Xét xem cặp phân thức dưới đây có bằng nhau không?

và  

Hướng dẫn giải

Để xét xem hai phân thức này bằng nhau hay không thì ta phải xét hai tích chéo. Nghĩa là xét

(x³ – 3x +2 ).2 và (2+x²)(x-1)

Nếu hai tích này bằng nhau thì hai phân thức này sẽ bằng nhau dựa theo điều kiện bằng nhau của hai phân thức

Ta có:

(x³ – 3x +2 ).2 = 2.x³ – 6x + 4

(2 + x² )(x-1) = 2x  - 2 + x³ – x²

Ta thấy (x³ – 3x +2 ).2 (2+x²)(x-1)

Vì vây, dựa theo điều kiện bằng nhau của hai phân thức thì hai phân thức này không bằng nhau

Bài tập luyện tập

Xét xem các cặp phân thức dưới đây có bằng nhau không? Vì sao?

a) và

b) và

c) và

d) và

3.3. Dạng 3: Chứng minh hai phân thức bằng nhau

*Phương pháp giải: Dựa vào điều kiện của hai phân thức bằng nhau và yêu cầu bài toán để chứng minh

Ví dụ: 

Chứng minh hai phân thức dưới đây bằng nhau (sử dụng điều kiện bằng nhau của hai phân thức):

  và

Hướng dẫn giải

Để chứng minh hai phân số này bằng nhau, ta phải chứng minh hai tích: (x² - 7x + 6)(2x-1) và -(6-x)(2x-1)(x-1) bằng nhau

Ta có:

(x² - 7x + 6)(2x-1) = 2x³ - x² - 14x² + 7x + 12x - 6 = 2x³ - 15x² + 19x - 6

-(6-x)(2x-1)(x-1) = 2x³ - 15x² + 19x - 6

=> (x² - 7x + 6)(2x-1) = -(6-x)(2x-1)(x-1)

Vậy hai phân thức này bằng nhau

Bài tập luyện tập

Chứng minh các phân thức dưới đây bằng nhau dựa vào điều kiện  bằng nhau của hai phân thức

a) và

b) và

c) và

Trên đây là toàn bộ kiến thức và các dạng bài tập phổ biến về hai phân thức bằng nhau. Hy vọng sẽ giúp các bạn học sinh nắm rõ và học tốt phần kiến thức này.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang