Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình chi tiết, đầy đủ

Hệ phương trình là một nội dung kiến thức quan trọng đối với các em học sinh trong chương trình môn Toán lớp 9. Trong đó các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là một nội dung thường xuất hiện trong các bài tập cũng như trong bài kiểm tra. Để hiểu rõ hơn, chúng ta cùng tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

• Bước 1: Lập hệ phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

- Lần lượt lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

- Từ hai phương trình nêu trên, ta có một hệ phương trình

• Bước 2: Giải hệ phương trình
• Bước 3: Kiểm tra nghiệm của hệ phương trình vừa tìm được có thỏa mãn điều kiện ban đầu của đề bài hay không và đưa ra kết luận.

2. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình thông qua một số dạng bài cụ thể

2.1. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình thông qua bài toán số học

Ví dụ: Tìm số tự nhiên thứ nhất và thứ hai. Biết số thứ nhất gấp 3 lần số thứ hai và tổng của số thứ nhất và số thứ hai là 32.

Giải

• Gọi số thứ nhất là , số thứ hai là
• Vì số thứ nhất gấp lần số thứ hai nên ta có phương trình      

Vì tổng của số thứ nhất và số thứ hai là nên ta có phương trình      

• Từ và ta có hệ phương trình:

Mà là các số thỏa mãn điều kiện ban đầu

Vậy, số thứ nhất là , số thứ hai là

2.2. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình thông qua bài toán hình học

Ví dụ: Hình chữ nhật có chu vi . Nếu tăng chiều dài lên lần, giảm chiều rộng thì chu vi hình chữ nhật mới là . Tìm chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật lúc ban đầu.

Giải

• Gọi  lần lượt là chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật lúc ban đầu
• Vì hình chữ nhật có chu vi nên nửa chu vi hình chữ nhật là  

Ta có phương trình      

• Vì chiều dài tăng lên lần nên chiều dài mới của hình chữ nhật là  

Và chiều rộng giảm đi nên chiều rộng mới của hình chữ nhật là  

Hình chữ nhật mới có chu vi là nên nửa chu vi hình chữ nhật mới là  

Ta có phương trình      

• Từ và ta có hệ phương trình

Ta có   là các giá trị thỏa mãn điều kiện.

Vậy, hình chữ nhật có chiều dài ban đầu là , chiều rộng ban đầu là

2.3. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình thông qua bài toán chuyển động

Ví dụ: Ô tô và xe máy chuyển động trên quãng đường từ A đến B. Biết rằng sau phút kể từ khi xe máy xuất phát từ A thì ô tô mới khởi hành và đi với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy là . Đi được giờ thì hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của ô tô và xe máy.

Giải

Đổi đơn vị:   phút = giờ

• Gọi lần lượt là vận tốc của xe máy và ô tô

Vì ô tô đi với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy là nên ta có phương trình      

• Thời gian kể từ khi xe máy xuất phát đến lúc gặp ô tô là   (giờ)

Thời gian kể từ khi ô tô xuất phát đến lúc gặp xe máy là   (giờ)

Quãng đường đi kể từ khi xe máy xuất phát đến lúc gặp ô tô là  

Quãng đường đi kể từ khi ô tô xuất phát đến lúc gặp xe máy là  

Mà quãng đường kể từ lúc xuất phát cho tới khi gặp nhau của hai xe là như nhau nên ta có phương trình      

• Từ và ta có hệ phương trình

Ta có    là các giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy, vận tốc của xe máy là , vận tốc của ô tô là

2.4. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình thông qua bài toán thực tế cuộc sống

Ví dụ: Minh và Dũng có tất cả viên bi. Sau khi Minh cho Dũng viên bi thì Dũng có nhiều hơn Minh viên bi. Tính số viên bi của Minh và Dũng lúc ban đầu

Giải

• Gọi (viên bi), (viên bi) lần lượt là số viên bi của Minh và Dũng sau khi trao đổi
• Tổng số viên bi của hai bạn là nên ta có phương trình      

Sau khi trao đổi Dũng có nhiều hơn Minh viên bi nên ta có phương trình      

• Từ và ta có hệ phương trình

Ta có là các giá trị thỏa mãn điều kiện đề bài

Vậy, sau khi trao đổi Minh có (viên bi), Dũng có (viên bi)

Số viên bi của Minh lúc ban đầu là (viên bi)

Số viên bi của Dũng lúc ban đầu là (viên bi)

3. Bài tập áp dụng các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài 1: Trung bình cộng của số thứ nhất, số thứ hai và là . Biết số thứ nhất lớn hơn số thứ hai là . Số thứ nhất, số thứ hai lần lượt là

1. 62 và 88
2. 88 và 62
3. 58 và 32
4. 32 và 58

Bài 2: Một cửa hàng ngày thứ nhất bán được nhiều hơn ngày thứ hai 60 kg gạo. Biết cả hai ngày cửa hàng bán được 450 kg gạo. Số kg gạo cửa hàng đã bán trong ngày thứ nhất và thứ hai lần lượt là

1. 260 kg và 200 kg
2. 200 kg và 260 kg
3. 255 kg và 195 kg
4. 195 kg và 255 kg

Bài 3: Hình chữ nhật có chu vi , chiều dài gấp lần chiều rộng. Chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là

Bài 4: Quãng đường AB dài . Xe máy thứ nhất di chuyển từ A đến B với vận tốc . Cùng lúc đó, xe máy thứ hai di chuyển từ B về A với vận tốc . Biết xe máy thứ hai đến nơi sớm hơn xe máy thứ nhất giờ. Thời gian di chuyển của xe máy thứ nhất và thứ hai lần lượt là

1. 7 giờ và 6 giờ
2. 6 giờ và 7 giờ
3. 7 giờ và 8 giờ
4. 8 giờ và 7 giờ

Bài 5: Tổng 2 số bằng số chẵn lớn nhất có 3 chữ số khác nhau. Hiệu hai số chẵn lớn nhất có 2 chữ số. Hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài là

Trên đây là các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và một số bài tập liên quan. Mong rằng các em có thể nắm bắt kiến thức vào giải các bài tập tương tự, đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang