Table of Contents
Hệ phương trình là một trong những nội dung trọng tâm của chương trình Đại số lớp 9. Vì vậy các vấn đề liên quan đến hệ phương trình cần được chú trọng.Vậy thế nào là hệ phương trình tương đương? Cách xác định hệ phương trình tương đương như thế nào và có những dạng toán liên quan gì? Cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu bài viết này nhé!
1. Hệ phương trình tương đương là gì?
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Tức là mỗi nghiệm của hệ phương trình này cũng là nghiệm của hệ phương trình kia và ngược lại.
Ví dụ: Hai hệ phương trình
2. Một số phép biến đổi tương đương
Nếu thay một phương trình của hệ bởi một phương trình khác tương đương với nó thì được một hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.
Nếu cộng (hoặc trừ) từng vế của hai phương trình trong hệ, được một phương trình mới rồi dùng nó thay cho một trong hai phương trình của hệ thì được một hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho .
Nếu từ một phương trình của hệ, ta biểu thị một ẩn qua ẩn kia, rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình một ẩn thì hệ gồm phương trình một ẩn này cùng với một trong hai phương trình của hệ là hệ phương trình tương đương với hệ phương trình đã cho .
3. Các dạng toán cơ bản về hệ phương trình tương đương
3.1. Dạng 1: Chứng minh hai hệ phương trình tương đương, không tương đương
*Phương pháp giải: Dựa vào các phép biến đổi tương đương để xác định hai hệ phương trình tương đương hoặc tìm nghiệm của từng hệ phương trình, nếu hai hệ phương trình có cùng tập nghiệm thì hai hệ phương trình tương đương.
Bài 1: Không tìm nghiệm của hệ phương trình, hãy chứng minh các hệ phương trình sau tương đương:
a)
(I)
b)
(I)
ĐÁP ÁN
a) Hai hệ phương trình tương đương vì phương trình thứ nhất được thay bởi phương trình tương đương với nó bằng cách nhân hai vế của phương trình với 2.
b) Hai hệ phương trình tương đương vì phương trình thứ hai được thay bởi phương trình tương đương với nó bằng cách nhân hai vế của phương trình với
Bài 2: Hãy chứng minh các hệ phương trình sau tương đương:
a)
(I)
b)
(I)
ĐÁP ÁN
a) Hai hệ phương trình tương đương vì đã cộng theo từng vế hai phương trình của hệ (I) được phương trình 3x = -1 rồi kết hợp phương trình này với phương trình thứ nhất ta được hệ phương trình (II).
b) Hai hệ phương trình tương đương vì từ phương trình thứ nhất của hệ (I) ta biểu diễn y qua x được y = 2x - 1 rồi thế vào phương trình thứ hai được -3x = -3; kết hợp ta được hệ phương trình (II).
Ngoài cách làm trên, chúng ta có thể tìm tập nghiệm của từng hệ phương trình bằng cách tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng từ hệ hoặc phương pháp đồ thị để xét sự tương đương của hai hệ phương trình.
Bài 3: Chứng minh hai hệ phương trình sau không tương đương với nhau.
(I)
(II)
ĐÁP ÁN
Hệ phương trình (I) vô nghiệm (1)
Từ hệ phương trình (II) ta viết lại như sau:
Hai đường thẳng y = 2x và y =
Do đó, hệ phương trình (II) có nghiệm duy nhất (2)
Tứ (1) và (2), suy ra hai hệ phương trình không tương đương.
Bài 4: Tìm hai hệ phương trình tương đương với hệ phương trình sau:
ĐÁP ÁN
1. Thay phương trình -x + 3y = -3 bởi phương trình -2x + 6y = -6 tương đương với nó, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho:
2. Cộng theo từng vế hai phương trình của hệ được phương trình 2x + 3y = -2 rồi kết hợp với phương trình một của hệ ta được phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho:
3.2. Dạng 2: Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình tương đương, không tương đương
Bài 1: Tìm a, b để hai hệ phương trình sau tương đương:
(I)
(II)
ĐÁP ÁN
Từ hệ (I) ta có:
Gọi d là đồ thị của hàm số y = 3 - 2x; d1 là đồ thị của hàm số y = x
Phương trình hoành độ giao điểm của d và d1 là:
3 - 2x = x
Thay x = 1 vào y = x ta được y = 1
Do đó, d và d1 cắt nhau tại điểm A (1; 1)
Nên hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất x = 1; y = 1.
Để hai hệ phương trình (I) và (II) tương đương với nhau thì x = 1; y = 1 là nghiệm của hệ phương trình (II). Do đó:
Vậy a = 8; b = 6 thì hai hệ phương trình (I) và (II) tương đương với nhau
Bài 2: Tìm m, n để hai hệ phương trình sau tương đương:
(I)
(II)
ĐÁP ÁN
Từ hệ (I) ta có:
Gọi d là đồ thị của hàm số y = 3 - x; d1 là đồ thị của hàm số y = -5 + 3x.
Phương trình hoành độ giao điểm của d và d1 là:
3 - x = -5 + 3x
Thay x = 2 vào y = 3 - x ta có:
y = 3 - 2 = 1
Do đó, d và d1 cắt nhau tại điểm A (2; 1)
Để hai hệ phương trình (I) và (II) tương đương với nhau thì x = 2; y = 1 là nghiệm của hệ phương trình (II). Do đó:
Bằng phương trình đồ thị ta tìm được nghiệm của hệ này là : m =
Vậy m =
Trên đây là các dạng toán và bài tập vận dụng về hệ hai phương trình tương đương. Thông qua việc xác định nghiệm của hệ hai phương trình mà chúng ta có thể biết được hai hệ phương trình có tương đương với nhau hay không. Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp các bạn học sinh hiểu và hoàn thành được các bài tập liên quan đến hệ phương trình tương đương một cách dễ dàng.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang