Cách giải hệ phương trình 2 ẩn chi tiết, đầy đủ

Hệ phương trình 2 ẩn là một nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 9. Vậy làm sao để giải hệ phương trình 2 ẩn? Có bao nhiêu phương pháp để giải hệ phương trình 2 ẩn và đó là những phương pháp nào? Để hiểu rõ hơn về những nội dung trên. Các em hãy cùng tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Nhắc lại một số khái niệm

• Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn có dạng       (*)   ( trong đó  a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ là các số đã biết; a₁ 0 hoặc b₁ 0; a₂ 0 hoặc b₂ 0 )
• ( x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (*) nếu khi chúng ta thế các giá trị x = x₀; y = y₀ lần lượt vào 2 phương trình trong hệ đều làm cho vế trái và vế phải bằng nhau

Ví dụ:    là một hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn có nghiệm (2; -2)

2. Các phương pháp giải hệ phương trình 2 ẩn

2.1. Giải hệ phương trình 2 ẩn bằng phương pháp thế

• Phương pháp:

+ Từ một trong hai phương trình của hệ, ta rút y theo x hoặc rút x theo y để thế vào phương trình còn lại trong hệ. Khi đó ta có được một phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc y. Giải tìm x hoặc y

+ Sau khi tính được giá trị x hoặc y ở bước trên, ta lấy giá trị đó thế vào phương trình còn lại trong hệ. Tiếp tục giải và tìm giá trị còn lại

+ Kết luận tập nghiệm

Ví dụ: Giải hệ phương trình        (I)   bằng phương pháp thế

Giải

Từ phương trình thứ nhất trong hệ ta rút x theo y và thế giá trị x vừa rút ra vào phương trình thứ hai trong hệ. Khi đó:

(I)

Vậy,

2.2. Giải hệ phương trình 2 ẩn bằng phương pháp cộng đại số

• Phương pháp:

+ Cộng hoặc trừ hai phương trình trong hệ vế theo vế để có được một phương trình mới

+ Giải hệ phương trình gồm một phương trình mới tìm được ở bước trên và một phương trình của hệ phương trình ban đầu

+ Kết luận tập nghiệm

Ví dụ: Giải hệ phương trình          (II)    bằng phương pháp cộng đại số

Giải

Cộng phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai trong hệ vế theo vế. Ta có:

2x + 3y + x - 3y = 4 + 2

3x = 6

Do đó:

(II)

Vậy,

2.3. Giải hệ phương trình 2 ẩn bằng phương pháp đặt ẩn phụ

• Phương pháp:

+ Đặt điều kiện xác định cho hệ phương trình 2 ẩn (nếu có)

+ Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa hệ phương trình 2 ẩn ban đầu về dạng hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn theo ẩn phụ

+ Giải hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn theo ẩn phụ đã đặt. Sau đó quay trở về tìm nghiệm của biểu thức ban đầu đã đặt ẩn phụ

+ Đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận tập nghiệm

Ví dụ: Giải hệ phương trình         (III)    bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Giải

Điều kiện:

Đặt ẩn phụ:

Khi đó, (III)

Đối chiếu với điều kiện ban đầu, x =4 và y = là hai giá trị thỏa mãn

Vậy,

3. Bài tập áp dụng về giải hệ phương trình 2 ẩn

Bài 1: Hệ phương trình      (*)     có nghiệm là

1. ( 2; )
2. ( -2; )
3. ( -4; 0 )
4. ( 1; -1 )

Bài 2: Cho hệ phương trình        (*)     

Hãy cho biết trong các phát biểu sau, phát biểu sai là

1. Hệ phương trình xác định khi x 0; y 0
2. Hệ phương trình có nghiệm ( x₀; y₀ ) thỏa mãn x₀ < y₀
3. Hệ phương trình có nghiệm ( x₀; y₀ ) = ( 1; 2 )
4. Hệ phương trình có nghiệm ( x₀; y₀ ) = ( ; 1 )

Bài 3: Cho hệ phương trình          (*)           

Hãy cho biết trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là

1. Hệ phương có nghiệm ( x₀; y₀ ) thỏa mãn x₀ > y₀
2. Hệ phương trình có nghiệm ( x₀; y₀ ) thỏa mãn x₀.y₀ > 0
3. Hệ phương trình có nghiệm ( x₀; y₀ ) thỏa mãn x₀.y₀ < 0
4. Hệ phương trình xác định khi x 0

Bài 4: Cho hệ phương trình         (*)

Biết rằng ( x₀; y₀ ) là nghiệm của hệ phương trình. Khi đó, giá trị x₀ - y₀ bằng

1. -2
2. 2
3. 0
4. A, B, C đều sai

Bài 5: Cho hệ phương trình         (*)

Biết rằng ( x₀; y₀ ) là nghiệm của hệ phương trình (*). Khi đó, giá trị ( x₀ + y₀ )² bằng

1. 25
2. 6
3. 16
4. 36

Trên đây, là các phương pháp giải hệ phương trình 2 ẩn và một số bài tập áp dụng. Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể vận dụng làm nhiều bài tập hơn nữa. Cũng như chuẩn bị thật tốt cho các kì thi sắp tới.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang