Table of Contents
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một dạng toán phổ biến ở lớp 9. Nếu các em đang tìm kiếm tài liệu học tập về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì VOH Giáo Dục chia sẻ bài học này giúp các em học sinh có thể dễ dàng giải được các dạng bài tập hay gặp về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
Trong đó a, b, c, a', b', c' là các số thực cho trước; x, y là ẩn số.
- Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung (x0; y0) thì (x0; y0) được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.
- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ.
- Hai hệ phương trình tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
- Các trường hợp nghiệm của hệ phương trình:
• Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi :
• Hệ phương trình có vô số nghiệm khi và chỉ khi:
• Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:
2. Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
2.1. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế
*Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước sau
- Bước 1: Chọn phương trình dễ nhất (phương trình có hệ số đơn giản) để rút ẩn (biểu diễn ẩn này theo ẩn kia) (1) rồi thay vào phương trình còn lại (2)
- Bước 2: Giải phương trình (2) ta tìm được 1 ẩn, thay ẩn này vào phương trình (1) ta được ẩn còn lại
- Bước 3: Kết luận nghiệm
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a)
b)
ĐÁP ÁN
a) Ta có:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (2; -1)
b) Ta có:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (-1; -1)
2.2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số
*Phương pháp giải:
Thực hiện theo các bước sau:
• Bước 1: Xác định ẩn muốn khử
• Bước 2: Đồng nhất hệ số: Xem xét hệ số đứng trước ẩn muốn khử ở hai phương trình đã bằng nhau hay chưa (không quan tâm dấu của hệ số).
+ Nếu hệ số đứng trước ẩn muốn khử của hai phương trình khác nhau thì ta nhân 2 vế của mỗi phương trình với số thích hợp sao cho hệ số đứng trước ẩn muốn khử bằng nhau (không quan tâm dấu hệ số)
+ Nếu hệ số đứng trước ẩn muốn khử đã bằng nhau thì chuyển sang bước 3
• Bước 3: Cộng vế theo vế nếu hệ số của ẩn muốn khử ở hai phương trình trái dấu, trừ vế theo vế nếu hệ số của ẩn muốn khử ở hai phương trình cùng dấu.
• Bước 4: Giải phương trình một ẩn, suy ra ẩn còn lại và kết luận.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
a)
b)
ĐÁP ÁN
a) Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất ta được hệ phương trình:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (2; 1).
b) Ta nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 sau đó trừ phương trình thứ hai được hệ phương trình sau:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (1; 2)
2.3. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị
*Phương pháp giải
Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, tập hợp nghiệm của phương trình (1) được biểu diễn bằng đường thẳng (d1), của phương trình (2) được biểu diễn bằng đường thẳng (d2). Mỗi điểm chung của (d1) và (d2) (nếu có) biểu diễn một nghiệm của hệ phương trình (I)
Nếu d1 cắt d2 thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.
Nếu d1 song song d2 thì hệ (I) vô nghiệm.
Nếu d1 trùng d2 thì hệ (I) có vô số nghiệm.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp đồ thị
ĐÁP ÁN
Ta có :
Dễ thấy trên cùng một hệ trục tọa độ, đồ thị của các hàm số y = 2x + 3 và y = 2x - 2 là các đường thẳng song song.
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
3. Một số dạng bài tập về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
3.1. Dạng 1: Xác định số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
*Phương pháp giải:
• Cách 1: Dựa vào các trường hợp nghiệm của hệ phương trình:
- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
- Hệ phương trình có vô số nghiệm khi và chỉ khi
- Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi
• Cách 2: Giải hệ phương trình sau đó suy ra số nghiệm.
Lưu ý: Chúng ta nên dùng cách 1 để giải dạng 1 nhanh hơn, tiết kiệm thời gian làm bài.
Ví dụ 4: Xác định số nghiệm của các hệ phương trình sau:
a)
b)
c)
ĐÁP ÁN
a) Ta có
Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Ta có
Suy ra hệ phương trình vô nghiệm,
c) Ta có
Suy ra hệ phương trình có vô số nghiệm.
3.2. Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước
*Phương pháp giải
• Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình nhận (x0; y0) là nghiệm của hệ:
- Hệ phương trình
• Tìm giá trị của tham số để nghiệm của hệ thỏa mãn một số điều kiện khác.
- Bước 1: Giải hệ phương trình ẩn x, y và biểu diễn x, y theo tham số
- Bước 2: Thay x, y vào điều kiện của bài rồi tìm tham số.
- Bước 3: Kết luận.
• Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất hoặc có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm: Dựa vào các trường hợp nghiệm của hệ phương trình.
Ví dụ 5: Cho hệ phương trình tham số sau:
a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 3)
b) Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm.
ĐÁP ÁN
a) Hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 3) nên ta có
Vậy m = -1 thì hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 3).
b)
+) Xét m = 0 ta có
Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) = (-1; -2) (loại)
+) Xét m ≠ 0:
Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì:
Vậy không có giá trị nào của m để hệ phương trình có vô số nghiệm.
Ví dụ 6: Tìm m để hệ phương trình
ĐÁP ÁN
Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất ta được hệ phương trình:
+) Với m = 2 ta có
+) Với m ≠ 2 ta có:
Theo bài ra ta có: x = 2y ta có :
Vậy
Hy vọng với kiến thức hệ phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9 trên đây sẽ là bài học hữu ích, có thể giúp các em có thể học tốt hơn. Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao!
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang